Модели краткосрочного страхования жизни. Задача 4.1. Предположим, что в компании застраховано = 3000 человек с вероятностью смерти

Задача 4.1. Предположим, что в компании застраховано = 3000 человек с вероятностью смерти в течение года . Компания выплачивает сумму = 250000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Определите величину активов, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.

Решение.

Примем размер страховой суммы в качестве новой денежной единицы.

Прежде всего, мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию суммарного ущерба .

Поэтому

Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина должна быть равной = 1,645, т.е. (от величины страхового пособия) или в абсолютных цифрах около 3 483 750 руб.

Задача 4.3. Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на один год. Информация относительно структуры покрытия приведена в следующей таблице:

Относительная защитная надбавка равна 20%.

Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик использует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.

Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?

Решение.

Пусть – общее число проданных договоров. – выплаты по -му договору, – суммарные выплаты по всему портфелю, – относительная защитная надбавка, так что премия по одному договору равна .

По условию, . С другой стороны,

.

Поэтому

,

где – квантиль порядка 0,95 стандартного нормального (гауссовского) распределения.

Отсюда для искомого числа договоров имеем:

.

Поскольку для индивидуального договора,

,

,

, искомое число договоров равно 590.

Модели долгосрочного страхования жизни

Задача 5.1.Предположим, что продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом 120 лет, а эффективная годовая процентная ставка равна 15%. Подсчитайте нетто-премии для человека в возрасте 40 лет, если заключается договор:

а) пожизненного страхования;

б) 5-летнего смешанного страхования жизни;

в) пожизненного страхования, отсроченного на 2 года;

г) пожизненного страхования с непрерывно увеличивающейся страховой суммой.

Решение.

Как мы знаем, остаточное время жизни застрахованного имеет равномерное распределение на промежутке , значит, функция плотности имеет вид:

.

Интенсивность процентов , коэффициент дисконтирования . После этих предварительных замечаний приступим к расчетам:

а) для пожизненного страхования имеем

.

б) для смешанного 5-летнего страхования

.

в) для пожизненного, отсроченного на 2 года

.

г) для пожизненного, с непрерывно увеличивающейся страховой суммой

.

Задача 5.2. Страховая компания заключила 10000 договоров пожизненного страхования. Предположим, что остаточное время жизни каждого из застрахованных характеризуется интенсивностью смертность , которая не меняется с течением времени, а интенсивность процентов .

Подсчитайте величину премии, которая гарантировала бы 95% вероятность выполнения компанией своих обязательств.

Решение.

Подсчитаем вначале нетто-премию. В соответствии с формулой , где – плотность остаточного времени жизни. Поскольку нам известна интенсивность смертности, то мы можем найти функцию выживания

,

что, в свою очередь, дает формулу для плотности :

.

Теперь мы можем подсчитать нетто-премию:

.

Второй момент

,

следовательно, дисперсия

.

Теперь относительная страховая надбавка равна:

.

Соответственно премия есть

.

Напомним, что величина страховой суммы используется нами в качестве единицы измерения денежных сумм, так что, если, например, рублей, то рубля.