Нелинейные зависимости в экономике

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу: . Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, не только на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.

.

Английский экономист А. В. Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 1850-х гг. XX в., установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

Для равносторонней гиперболы вида , заменив на z, получим линейное уравнение регрессии , оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

Правомерность использования равносторонней гиперболы для кривой Энгеля довольно легко доказывается. Соответственно можно определить границу величины дохода, дальнейшее увеличение которого не приводит к росту доли расходов на отдельные непродовольственные товары.

Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно возможной функцией для описания кривой Энгеля. В 1943 г. Уоркинг и в 1964 г. Лизер для этих целей использовали полулогарифмическую кривую .

Заменив ln x на z, опять получим линейное уравнение: . Данная функция, как и предыдущая, линейна по параметрам и нелинейна по объясняющей переменной х. Оценка параметров а и b может быть найдена МНК. Система нормальных уравнений при этом окажется следующей:

Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

(1.19)

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

(1.20)

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.