Вращательное броуновское движение

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра общей физики

БРОУНОВСКОЕ

ДВИЖЕНИЕ.

ТЕМПЕРАТУРА

Учебно-методическое пособие для студентов

Специальности 1 - 31 04 01 «Физика»

МИНСК

 

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

Сущность и причины

Броуновского движения

 

Пусть небольшое макроскопическое тело массы находится в жидкой или газообразной среде. Предположим, что сила тяжести отсутствует либо скомпенсирована какими-либо силами, например, архимедовой подъёмной силой. Под воздействием ударов молекул среды центр масс тела совершает беспорядочные тепловые движения, скорость которых:

,

где – масса, а – скорость -ой молекулы тела.

Возведя в квадрат, получим

Усредним по времени. Ввиду хаотичности теплового движения молекул тела их скорости не скоррелированы, поэтому при .

Тогда

Для каждой молекулы тела ,

следовательно,

В результате: .

Таким образом, при тепловом равновесии на поступательное движение центра масс макроскопического тела в среднем приходится та же энергия , что и на поступательное движение одной молекулы. В этом отношении тело можно рассматривать как гигантскую молекулу.

Аналогично можно показать, что .

Если маленькие твёрдые частицы размером порядка 10^{-6 м поместить в каплю жидкости и наблюдать их под микроскопом, то оказывается, что частицы не находятся в покое, а постоянно движутся в разных направлениях.}

Это явление получило название броуновского движения в честь английского ботаника Броуна, который впервые наблюдал его в 1827 г.

Энергия , приходящаяся на три поступательные степени свободы частицы, приводит к движению её центра масс, которое и наблюдается под микроскопом в виде дрожания.

В 1905 г. Эйнштейн объяснил броуновское движение случайными флуктуациями, возникающими в состоянии равновесия. Движение твёрдых частиц в жидкости подвержено воздействию флуктуаций силы, появляющейся в результате многих случайных столкновений молекул жидкости с этими частицами. Так как броуновские частицы имеют небольшой размер, то число молекул, взаимодействующих с ними в единицу времени, также мало, и соответственно флуктуации велики. Результирующее случайное движение частицы поэтому легко наблюдать. Броуновское движение наглядно подтверждает представления молекулярно-кинетической теории о хаотическом тепловом движении атомов и молекул.

 

Случайное блуждание

 

Рассмотрим положение броуновской частицы через некоторые фиксированные промежутки времени (см. рис.): точка O – начало координат, – вектор перемещения между двумя наблюдениями. Следует отметить, что перемещение частицы в промежутках времени между моментами наблюдения также происходит по сложной изломанной линии. По истечении наблюдений радиус-вектор частицы: . Вычислим средний квадрат удаления частицы от начала после шагов в большой серии опытов:

,

где – средний квадрат смещения частицы на -ом шаге (в большой серии опытов он для всех шагов одинаков и равен какой-то положительной величине, которую обозначим как ).

Кроме того, при (т.к. перемещения при -ом и -ом шаге являются независимыми величинами).

Поэтому ,

где – время, в течение которого средний квадрат удаления частицы стал равным .

Таким образом, несмотря на то, что направления, в которых частица перемещается при каждом шаге, равновероятны, в среднем частица будет удаляться от её начального положения, поскольку ~ .

 

Расчёт движения

Броуновской частицы

 

Будем считать, что броуновская частица имеет форму шарика радиуса . При равномерном движении шарика в жидкости со скоростью на него действует сила сопротивления, определяемая формулой Стокса:

, где – вязкость жидкости.

Т.е. ~ или записывают , где – подвижность частицы.

Уравнение движения броуновской частицы в направлении оси имеет вид

, (1)

где – проекция случайной силы, возникающей за счёт беспорядочных ударов молекул о частицу.

Слагаемое также обусловлено толчками молекул (в сред-

нем толчки, действующие против движения, сильнее толчков, действующих в направлении движения).

Умножим (1) на и учтём тождества:

;

Тогда .

Усредним по ансамблю броуновских частиц

(2)

ввиду случайного характера силы и координаты частицы и их независимости друг от друга.

в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Из предыдущего пункта:

(поскольку ).

Подставив в (2), получаем: , т.е. .

Значит, или

– формула Эйнштейна,

где – коэффициент диффузии для сферических частиц.

Формулу Эйнштейна можно записать в виде

– средний квадрат смещения частицы пропорционален времени.

Коэффициент пропорциональности не зависит от массы частицы.

 

Опыты Перрена.

Вращательное броуновское движение.

Опыт Капплера

 

Формула Эйнштейна была экспериментально подтверждена французским физиком Жаном Перреном в ряде работ, начатых в 1908 г. Перрен отмечал через равные промежутки времени (τ=30 c) положения в поле зрения микроскопа броуновской частицы, взвешенной в воде (см. рис.). Серия опытов позволяет вычислить значение среднего квадрата смещения и по формуле найти постоянную Больцмана и число Авогадро . Перрен получил для них значения, согласующиеся с другими методами.

 

Вращательное броуновское движение – беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды.

Средний квадрат углового смещения частицы:

 

,

где – коэффициент диффузии вращательного броуновского движения для сферической частицы. Модельный опыт по наблюдению вращательного броуновского движения поставлен Капплером в 1932 г. (см. рис.) и состоит в следующем.

На очень тонкой кварцевой нити подвешивается маленькое зеркальце.

Под действием ударов молекул окружающего газа зеркальце совершает беспорядочные крутильные колебания около положения равновесия. Это и есть вращательное броуновское движение. Для его наблюдения на зеркальце направляется световой луч. По положению светового зайчика на шкале можно определить угловое положение зеркальца.

Малые крутильные колебания являются гармоническими, поэтому

,

где использована теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы,

– модуль кручения нити,

– момент инерции зеркальца.

Тогда .

Полученные с помощью этой формулы результаты для хорошо согласуются с найденными из опытов по проверке распределения Больцмана и исследованию поступательного броуновского движения.

 

 

ТЕМПЕРАТУРА