Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение
Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону: (1) (2) Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению (4) Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (5) причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0 если механические колебания равно F0/m, в случае электромагнитных колебаний - Um/L). Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х0eiωt : (6) Частное решение данного уравнения будем искать в виде Подставляя выражение для s и его производных ( и ) в выражение (6), найдем (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω02 - ω2 - 2iδω) Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: где (8) (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна (10) где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно (11) Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения (12) и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .
Рис.1
Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω02 = 1/(LC) и δ = R/(2L) : (13) Продифференцировав Q=Qmcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях: (14) где (15) Уравнение (14) может быть записано как где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13) (16) Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС). Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2072)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |