ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ
1. Понятие неопределенности. В практике отыскания пределов наиболее часто применяется теорема 2 об арифметических действиях над пределами (см. § 1). Однако ее непосредственное применение бывает невозможно в особых ситуациях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении ее условий. Например, если , то нельзя сказать ничего определенного о пределе , не зная конкретного вида функции и . В этом случае говорят о наличии неопределенного вида . Неопределенность возникает и при отыскании предела , если , ( и могут быть бесконечно большими определенного знака или нет). Ее обозначают символом . Еще один пример: ищется , причем и – бесконечно большие противоположных знаков – здесь неопределенность . При вычислении предела создается неопределенность , если , . Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности , относящиеся к пределу вида . Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования тех или иных теорем о пределах. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функций на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.), заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших (см. § 3), а с другой стороны, использованием так называемых замечательных пределов. I. .
II. ( — иррациональное число. Оно является основанием системы логарифмов, называемых натуральными. Вместо принято писать ). Из предела II выводятся следующие пределы, широко применяемые при раскрытии неопределенностей: III. .
IV. (в частности, ).
V. . Замечание. Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при этом необходимости ее воспроизведения. Так, для предела характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида равен 1, если . Например, каждый из пределов , , есть, в сущности, первый замечательный предел и потому равен 1, чего нельзя сказать ни об одном из пределов , , . Для предела характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если , то и . Такова структура каждого из пределов , , , и потому все они равны , но структура пределов , , отлична от срукткры замечательного предела. Подобные рассуждения справедливы и для пределов III–V. Заметим, что если заданный предел не обладает структурой ни одного из пределов I–V, это не исключает возможности использования их для его отыскания. 2. Неопределенность 0/0. В простейших случаях такая неопределенность устраняется путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя, создающего неопределенность, и сокращения на него, после чего можно применять теорему о пределе частного. Этот прием основан на теореме: если в окрестности точки для всех и существует один из пределов или , то существует и другой, и они равны. Например, функции и равны при . Поскольку Способ выделения общего множителя, да и сам его вид зависят от структуры числителя и знаменателя. Иногда вид выделяемого множителя зависит от способа его выделения (см. ниже пример 5). Для раскрытия неопределенности 0/0 применяются и другие элементарные приемы, а также пределы I, III–V, используются эквивалентные бесконечно малые. Пример 1. Вычислить . Решение. Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при . По теореме Безу каждый из них должен делиться на , т.е. каждый из них может быть представлен в виде произведения на некоторый многочлен. Таким образом, нахождение предела сводится прежде всего к выделению в числителе и знаменателе множителя , незримое присутствие которого и создает неопределенность 0/0. Практически это достигается каким-либо способом разложения числителя и знаменателя на множители, например делением «уголком»*. [ДЕЛЕНИЕ СТОЛБИКОМ] Теперь искомый предел можно представить в виде . Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим ответ: . Замечание. Веденный пример решения всегда приводит к цели, когда ищется , где и — многочлены степеней m и n относительно x. Можно применить и непосредственное разложение многочленов на множители путем группировки слагаемых с выделением множителя , если такая группировка очевидна. В приведенном примере такое разложение легко получить для числителя: 1. Раскрыть неопределенность 0/0:
3. Неопределенность ∞/∞. Эта неопределенность раскрывается теми же методами, что и неопределенность 0/0, а иногда просто сводится к последней элементарными преобразованиями. Пример 3. Вычислить . Решение. При достаточно больших значениях величина числителя определяется членом , а роль остальных слагаемых тем незначительней, чем больше . В знаменателе при росте доминирующее значение приобретает слагаемое . Поэтому именно присутствие членов, содержащих , является причиной возникновения неопределенности ∞/∞. Если в числителе и знаменателе вынести множитель за скобки и сократить на него, то неопределенность исчезнет:
(Слагаемые есть бесконечно малые при ). Замечание. Проведенные преобразования фактически сводятся к делению числителя и знаменателя на старшую степень x. Часто этого бывает достаточно для раскрытия неопределенности ∞/∞. (В сущности, к этому же премк можно отнести замену переменной . Тогда и
Пример 4. Вычислить . Решение. Воспользуемся замечанием к примеру 15. Заметив, что старшая степень в данном случае равна 3, разделим почленно ислитель и знаменатель на : (Смена знака перед двумя радикалами в переходе (1) объясняется тем, что при и аналогично Пример 5. Вычислить . Решение. В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Следовательно, и Пример 6. Вычислить . Решение. Множителем, создающим неопределенность, в данном примере является , что видно из равенств Заменив числитель и знаменатель правыми частями этих равенств и поделив их затем на , добьемся исчезновения неопределенности: 2. Раскрыть неопределенность ∞/∞:
Вывести простое правило вычисления предела , где и – многочлены степеней n и m.
4. Неопределенность . Неопределенности такого вида элементарными преобразованиями, использованием замечательных пределов или заменой переменной сводятся к одной из неопределенностей вида 0/0 или ∞/∞. Пример 7. Вычислить . Решение. Пример 8. Вычислить . Решение. Заметив, что при , выделим замечательны предел I: После выделения замечательного предела I делением и умножением на (переходы (1) – (3)) неопределенность свелась к неопределенности , ликвидация которой произведена делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной (переход (4)). Вычислить следующие пределы:
5. Неопределенность . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞, с помощью элементарных преобразований. Пример 9. Вычислить . Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель . Действительно, учитывая, что , находим последовательно ∞/∞, с помощью элементарных преобразований. Пример 10. Вычислить . Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность к неопределенности :
5. Неопределенность . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞, с помощью элементарных преобразований. Пример 11. Вычислить . Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель . Действительно, учитывая, что , находим последовательно ∞/∞, с помощью элементарных преобразований. Пример 12. Вычислить . Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность к неопределенности : Вычислить следующие пределы:
6. Неопределенность . Условия, при которых возникают эти неопределенности, связанные с пределом , где и — функции от x, можно пояснить таблицей:
Из тождества и непрерывности показательной функции (см. главу III) следует, что . Таким образом, раскрытие неопределенностей сводится к отысканию предела функции , который связан с неопределенностью , как это видно из таблицы. Если S найдено, то . Заметим, что . Следовательно, для раскрытия любой из неопределенностей рассматриваемых типов достаточно найти предел натурального логарифма функции, стоящей под знаком предела, и по его значению S восстановить искомый предел . Неопределенность может быть раскрыта помимо изложенного способа, общего для этих неопределенностей, способом непосредственной «подгонки» к замечательному пределу II , например, по такой схеме: Выражение, построенное внутри квадратных скобок, имеет вид , где — бесконечно малая при . Нахождение предела требует раскрытия неопределенности . Пример 13. Вычислить . Решение. Поскольку при , то имеем неопределенность вида . Выделим замечательный предел II: Пример 14. Вычислить . Решение. при стремится к единице, а , следовательно, здесь неопределенность вида . Выделим замечательный предел II: Пример 15. Вычислить . Решение. при стремится к единице, а , следовательно, здесь неопределенность вида . Выделим замечательный предел II: Пример 16. Вычислить . Решение. при стремится к единице, а , следовательно, здесь неопределенность вида . Выделим замечательный предел II:
Следовательно, Вычислить:
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (930)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |