Пересечение поверхностей плоскостью

Лабораторная работа №6

Кривые поверхности, точки на поверхностях

В начертательной геометрии поверхность рассматривают как геометрическое место последовательных положений линии (образующей), движущейся в пространстве по определенному закону.

Кривые поверхности по виду образующей можно разделить на два класса:

Ø линейчатые, образующая которых является прямая линия;

Ø нелинейчатые, образованные движением кривой.

Примером линейчатых поверхностям являются (рис. 6.1.1):

Ø конические – прямолинейная образующая проходит через вершину конической поверхности и последовательно все точки некоторой кривой (направляющей).

Ø цилиндрические – прямолинейная образующая во всех своих положениях параллельна некоторой заданной прямой и последовательно проходит через все точки некоторой кривой (направляющей).

Ø винтовые – прямолинейная образующая проходит последовательно через все точки пространственной кривой – винтовой линии и пересекает ось винтовой линии под постоянным углом.

Рис. 6.1.1

При вращении образующей вокруг неподвижной оси получается поверхность, называемая поверхностью вращения. Каждая точка этой поверхности описывает около оси окружность, следовательно, любая плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересечет поверхность вращения по окружности с центром на этой оси. Эти окружности называются параллелями (рис. 6.1.2). Наибольшую из параллелей называют экватором, наименьшую – горлом.

Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения называется меридиональной, а линия пересечения этой плоскости с поверхностью вращения – меридианом поверхности. Если ось поверхности вращения перпендикулярна плоскости p₁, то меридиан, лежащий во фронтальной плоскости называется фронтальным меридианом, а в профильной, соответственно, профильным меридианом.

Рис. 6.1.2

На рис. 6.1.3. приведены поверхности вращения: коническая (а), цилиндрическая (б), сферическая (в) и торовая (г). Если точка лежит на поверхности, то проекции точки принадлежат линиям поверхности. Примеры построения точек, принадлежащих поверхностям даны на рис. 6.1.3 (а, б, в, г).

а)	б)	в)

 

г)

Рис. 6.1.3

Вопросы

1. Что такое поверхность?

2. Что называется образующей поверхности?

3. Что называется направляющей поверхности?

4. Что такое определить поверхности?

5. Что называется очерком поверхности?

6. Что называется поверхностью вращения?

7. Чем можно задать поверхность вращения?

8. Что называется параллелью, экватором, горлом?

9. Что называется меридианом, главным меридианом?

10. Как определить положение точки на поверхности вращения?

11. Когда линия принадлежит поверхности?

Задания

6.1.1 Построить проекцию конуса, заданного основанием, лежащим в плоскости p₂, и вершиной S, лежащей в плоскости p₁.

6.1.2. Построить проекцию цилиндра, заданного его основанием и горизонтальной проекцией А′А′₁образующей. Точка В лежит на поверхности цилиндра.

 

6.1.3. Найти недостающие проекции точек A,B,C,D на поверхности сферы (а); M,N,P на поверхности цилиндра (б).

 

а)

6.1.4. Построить недостающую проекцию линии, принадлежащей конической поверхности.

6.1.5. Построить фронтальную проекцию линии АВ на поверхности конуса (а); горизонтальную проекцию линии MN на поверхности наклонного цилиндра (б).

6.1.6. По заданной фронтальной проекции фигуры, принадлежащей плоскости конуса, построить ее горизонтальную проекцию.

Пересечение поверхностей плоскостью

Для построения линии пересечения поверхности плоскостью в общем случае применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Точки искомой линии определяются, как точки пересечения линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость.

При подборе вспомогательных плоскостей необходимо стремиться к упрощению построений. Предпочтение следует отдавать проецирующим плоскостям, пересекающим заданную поверхность по возможно более простым линиям.

Важен правильный и последовательный порядок построения характерных точек проекций сечения:

Ø очерковые – точки, лежащие на очерковых образующих проекций поверхности;

Ø высшей и низшей точек сечения

Ø граничных точек сечения, определяющих границу видимости сечения;

Ø наиболее и наименее удаленных точек от плоскостей проекций;

Остальные точки определяются для уточнения формы фигуры сечения.

Вопросы

1. Какая линия получается при пересечении кривой поверхности плоскостью?

2. Как строится линия пересечения кривой поверхности проецирующей плоскостью?

3. Как строится линия пересечения кривой поверхности плоскостью общего положения?

4. Какие вспомогательные плоскости следует выбирать при построении линии пересечения кривой поверхности с плоскостью? Чем надо руководствоваться при выборе этих плоскостей?

5. Какие линии получаются при пересечении цилиндра вращения плоскостями?

6. Какие линии получаются при пересечении конуса вращения плоскостями?

7. Какие линии получаются при пересечении сферы плоскостями и какие могут быть проекции этих линий?

Задания

6.2.1. Построить линию пересечения поверхности конуса проецирующей плоскостью, определить натуральную величину сечения конуса.

6.2.2. Построить три проекции конуса с призматическими вырезами.

 

6.2.3. Построить недостающую проекцию цилиндра вращения и построить его сечение плоскостью a.

6.2.4. Построить профильную проекцию цилиндра и его сечение горизонтальными и профильными плоскостями.

6.2.5. Построить линию пересечения поверхности сферы фронтально-проецирующей плоскостью.

6.2.6. Построить горизонтальную и профильную проекции сечения сферы горизонтальными и профильными плоскостями.