ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИБОРНОЙ ПОГРЕШНОСТИ И ОБЩЕЙ ПОГРЕШНОСТИ В СЛУЧАЕ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Приборные погрешности, являющиеся одним из видов систематических погрешностей, принципиально неустранимы и должны быть учтены при окончательной записи результата измерения.

В зависимости от величины погрешности измерительные приборы подразделяются на восемь классов точности (ГОСТ 8.401-81): 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. Классом точности прибора называется отношение абсолютной максимальной погрешности прибора (Dx_пр) к верхнему пределу его измерения (x_max), выраженное в процентах

(4.1)

Приборы класса 0,05; 0,1; 0,2; 0,5 используются для точных измерений и называются прецизионными. В технике применяются также приборы классов 1,0; 1,5; 2,5; 4. Более грубые приборы обозначения класса точности не имеют. Класс точности прибора обычно указывается на его шкале и в паспортных данных.

Зная класс точности, можно легко определить максимальную приборную погрешность, возникавшую при измерениях данным прибором.

(4.2)

Завод-изготовитель с помощью класса точности гарантирует лишь верхний предел приборной погрешности, т.е. её максимальное значение. Это значение Dx_пр экспериментатор вынужден считать постоянным при измерениях по всей шкале; конкретная же величина погрешности данного прибора, как правило, неизвестна.

Итак, приборная погрешность одинакова для всех значений измеряемой величины от начала до конца шкалы прибора. Однако относительная погрешность при измерении в начале шкалы будет значительно больше, чем в конце шкалы. По этой причине при эксплуатации многодиапазонных стрелочных приборов (например, в нашем практикуме по электричеству и магнетизму – амперметров и вольтметров) рекомендуется выбирать предел измерения прибора так, чтобы стрелка отклонялась почти на всю шкалу.

Если для прибора или инструмента отсутствуют данные о его классе точности, то максимальную приборную погрешность следует принять равной цене наименьшего деления шкалы этого прибора. Указанное правило связано с тем, что градуировка приборов обычно производится так, чтобы одно деление шкалы содержало от половины до целого значения величины Dx_пр. Так, приборную ошибку линейки с миллиметровыми делениями следует считать равной 1 мм, приборная ошибка секундомера, деления которого нанесены через 0,2 с, составит 0,2 с и т.д. (Следует оговориться, что в некоторых случаях даются рекомендации принимать в качестве максимальной приборной погрешности половину цены деления).

В том случае, если погрешность измерения какой-либо величины складывается из нескольких погрешностей (Dx₁, Dx₂ , ..., Dx_m), вносимых разными независимыми причинами, то теория погрешностей дает следующий закон их сложения (правило «накопления ошибок»):

(4.3)

Общая погрешность прямого измерения состоит из случайной и приборной погрешностей. Поскольку доверительные вероятности этих ошибок могут различаться, при расчете результирующей (суммарной) погрешности Dx следует учесть данное различие. Как следует из вышеизложенного, приборная погрешность имеет высокую доверительную вероятность, приближающуюся к единице. Истинный же закон распределения приборных ошибок в партии приборов данного типа неизвестен. Один из возможных способов оценки суммарной погрешности в этом случае заключается в следующем. Полагают, что закон распределения приборных погрешностей близок к нормальному. Тогда величина Dx_пр примерно соответствует "трёхсигмовому" интервалу. Доверительный интервал для используемой нами надёжности результата 0,95 равен "двухсигмовому", т.е. он составляет величину 2·Dx_пр / 3. Воспользовавшись правилом «накопления ошибок» (4.3), найдём общую погрешность прямого измерения в виде

(4.4)

Следует иметь в виду, что складывать приборную и случайную погрешности по формуле (4.4) имеет смысл лишь в том случае, если они различаются меньше чем в три раза. Если же одна из погрешностей больше другой в три и более раз, именно её и следует принять в качестве меры общей погрешности. Экспериментатор должен стремиться к тому, чтобы случайная погрешность была меньше приборной и не вносила вклад в общую погрешность.Однако на практике не всегда удаётся провести достаточно большое число измерений и приходится пользоваться правилом сложения (4.4).

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ
КОСВЕННЫХИЗМЕРЕНИЙ

При проведении научно-технических исследований в большинстве случаев искомую физическую величину не удаётся измерить непосредственно, а приходится рассчитывать по формулам, в которые в качестве одной или нескольких переменных входят величины, измеряемые с помощью приборов. Такие измерения, как уже отмечалось, называются косвенными. Рассмотрим методику расчёта погрешностей для случая косвенных измерений.

Допустим, необходимо определить некоторую физическую величину f, которая связана функциональной зависимостью с величинами u, v, w,… .

f = f(u, v, w,…) (5.1)

Величины u, v, w,… измеряются непосредственно с помощью приборов. Пусть было проведено по п измерений каждой из величин u, v, w,… и получены следующие результаты:

u₁, u₂,…,u_n

v₁, v₂,…,v_n (5.2)

w₁, w₂,…, w_n

Результаты прямых измерений (5.2) были обработаны согласно правилам, изложенным в разделе 3 и 4, и определены средние значения и соответствующие им погрешности:

; ; . (5.3)

Наилучшей оценкой истинного значения искомой величины f является её среднее значение . Для нахождения необходимо в формулу (5.1) подставить средние значения прямо измеренных величин:

= f( ) (5.4)

Очевидно, что величина получена с некоторой погрешностью . Погрешность при косвенном измерении зависит от погрешностей прямо измеренных величин и вида функциональной зависимости (5.1).

Если прямые измерения проведены независимыми способами и относительные погрешности ε(u), ε(v), ε(w),... невелики, то теория погрешностей даёт следующую формулу для нахождения погрешности:

, (5.5)

где , , ,.... - частные производные от функции (5.1), которые вычисляются при , , ,... .

Пусть зависимость (5.1) имеет степенной вид

, (5.6)

где А - некоторая константа; α, β, γ показатели степени (целые или дробные, положительные или отрицательные). В этом случае для расчета ∆f удобнее использовать формулу

(5.7)

Поясним, как получается формула (5.7). Для этого предварительно прологарифмируем уравнение (5.6)

ln f = ln A + α ln u + β ln v + γ ln w (5.8)

Известно, что , отсюда получаем

(5.9)

Вычислив частную производную и подставив её в (5.9), получим

(5.10)

Далее, заменяя в (5.5) частные производные выражениями вида (5.10), придем к формуле (5.7).

Рассмотрим два примера. 1. Дана функция .

Пусть средние значения и погрешности прямо измеренных величин и, v и w равны, соответственно, , , , ∆u, ∆v и ∆w. Найдем формулу для расчета погрешности ∆f.

Для нахождения ∆f применим правило (5.7), предварительно вычислив частные производные функции f:

; ;

2. Пусть функция f имеет другой вид: . В этом случае, используя правило (5.7), запишем:

;