Задача о скорости химической реакции
ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различных процессов.
Вопрос 1. Задачи, приводящие к понятию производной Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию производной. Задача о скорости прямолинейного движения. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S = S(t), где t - время, а S - путь, проходимый точкой за время t. Требуется найти скорость движения точки для любого момента времени t. Зафиксируем два момента времени t и t+∆t. К моменту времени t точка пройдет путь S(t), а к моменту времени t+∆t - путь S(t+∆t). Тогда за промежуток времени ∆t точка пройдет путь ∆S = S(t+∆t) ‒ S(t). Отношение выражает среднюю скоростьдвижения точки за время ∆t: . Средняя скорость ʋср зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее ʋср выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости ʋср при ∆t→0 называется мгновенной скоростьюдвижения точки в момент времени t и обозначается ʋ: или Задача о скорости химической реакции. Пусть дана функция m = m(t), где m – количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение - средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 представляет собой скорость химической реакции в момент времени t:
Все выше рассмотренные пределы имеют одинаковый вид: везде требуется найти предел отношения приращений функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Нахождение производных для различных функций и изучение свойств производных в связи со свойствами самих функций является основной задачей одного из важнейших разделов математического анализа – дифференциального исчисления. Вопрос 2. Определение производной. Общее правило дифференцирования
Пусть функция у = f(х) определена на некотором промежутке Х. Возьмем любую точку хÎХ и дадим аргументу х приращение ∆х¹0 такое, что точка (х+∆х) ÎХ. При этом функция получит приращение ∆у = f(х+∆х) ‒ f(х). О.2.1. Производной функции у = f(х) в точке х называется предел отношения приращения функции ∆у в этой точке к приращению аргумента ∆х при ∆х→0 (если этот предел существует). Обозначения: . По определению . (1)
Если в некоторой точке х предел (1) бесконечен, то говорят, что в точке х функция f(х) имеет бесконечную производную. Если функция f(х) имеет конечную производную в каждой точке хÎХ, то производная f′(х) является некоторой функцией, произведенной (т.е. полученной по некоторому правилу) из данной функции f(х). Операция нахождения производной функции называется ее дифференцированием. Из определения производной вытекает и способ ее вычисления. Общее правило дифференцирования функции у = f(х)
1.Зафиксировав значение х, найти f(х). 2.Придав аргументу х приращение ∆х¹0 так, чтобы не выйти из области определения функции, найти f(х+∆х). 3.Найти приращение функции ∆у = f(х+∆х) ‒ f(х). 4.Составить отношение . 5.Найти предел отношения при ∆х→0: . Пример 1. Найти производную функции у = 5х2. Решение 1.f(х) = 5х2. 2. 3. 4. 5.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1187)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |