АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

1. Понятие производственных функций

2. Виды производственных функций

3. Изокванты

4. Изокосты

5. Минимизация стоимости

6. Стоимостная функция

Менеджеры при принятии управленческих решений должны знать, какие производственные ресурсы и в каком количестве требуются, чтобы выпускать продукцию с максимальной эффективностью. Для этого рассмотрим понятия производственных функций и технологии.

1. Понятие производственных функций

Технология – это реально доступные средства для трансформации сырья и остальных ресурсов в продукцию (сталь, труд, оборудование → автомобили). В технологии соединяются в единое целое все известные на сегодняшний день ноу-хау. В то же время принимаемые управленческие решения могут существенно повлиять на технологические разработки (например, затраты на НИР). Нас интересует, как менеджер может использовать имеющуюся технологию наиболее эффективным образом.

Анализ производства начнем с процесса, в котором для изготовления продукции требуются

 

Это обоснованно, так как везде используются оборудование и люди, и соотношения справедливы для любых пар ресурсов.

Технология, применяемая для трансформации труда и капитала в продукцию, может быть представлена как

 

Это функция, определяющая тот максимум продукции, которая может быть выпущена при заданных исходных ресурсах.

 

 

Важнейшим показателем, влияющим на принятие производственных решений, является определение продуктивности использования исходных ресурсов. Чаще всего пользуются тремя показателями продуктивности:

1. Общий объем выпускаемой продукции

2. Среднее количество выпускаемой продукции

3. Предельное количество выпускаемой продукции

Общий объем выпускаемой продукции – (TP – Total Product) -

 

(например, 1100 единиц продукции можно выпустить, если затратить 5 единиц труда с максимальной производительностью)

Среднее количество выпускаемой продукции– (AP – Averagel Product) –

 

 

Средняя продуктивность определяется как

 

Предельное количество выпускаемой продукции– (MP – Marginal Product) -

 

Рассмотрим задачу в краткосрочном плане, когда многие ресурсы являются фиксированными, что существенно ограничивает свободу выбора того или иного решения (обычно по этому признаку и различают краткосрочный и долгосрочный период).

Краткосрочные решения.

 

 

Пример – Таблица 1 – Производственная функция

К*(задается)	L(задается)	ΔL	Q(задается)	APL=Q/L	MPL=ΔQ/ ΔL	VMPL
		-

 

Данные таблицы показывают, что

 

Пример – подготовка к экзаменам: 0 часов – 0 баллов, 10 часов – 75 баллов, 20 часов – 100 баллов, перезанимался – хуже результат.

Роль менеджера заключается в:

 

1-я задача – объяснить легко, реализовать на практике трудно. Производственная функция описывает максимально возможный объем продукции, например, в нашем случае надо организовать работу так, чтобы работники действовали с максимальными усилиями. Для этого их надо соответствующим образом мотивировать.

2-я задача – обеспечение «правильной точки» производственной функции. Предположим, что затраты на каждую единицу труда – 400 д.е., каждая единица продукции продается за 3 д.е. Сколько работников должен нанять менеджер, чтобы получить максимальную прибыль? Для этого нужно узнать, какие выгоды получит компания от найма дополнительного работника. Каждый дополнительный работник увеличивает общий объем продукции и приносит компании дополнительный доход =

Эта сумма называется

 

 

Вносим данные в таблицу 1. Тогда видим, что первая единица труда приносит 228 д.е., вторая – 516 и т.д. Видно, что при найме любого работника со 2 по 9 стоимость дополнительной продукции превышает затраты на наем этого работника, то есть

Использование 10-й единицы труда

 

Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль, менеджер должен

 

 

Т.о. видно, что компания, стремящаяся к максимизации прибыли, должна работать в области

 

 

Долгосрочные решения. В долгосрочном периоде менеджер может изменять любые факторы, позволяющие оптимизировать производственный процесс, то есть переменными являются

 

2. Виды производственных функций

Рассмотрим алгебраические выражения производственных функций, наиболее часто используемых специалистами.

Наиболее простая – линейная производственная функция:

 

 

Пусть для производства 4-х единиц продукции в час на заводе необходимо 4 единицы труда или 1 единица оборудования, то есть капитал в 4 раза производительнее. Тогда:

 

 

Тогда за час 5 единиц капитала и 2 единицы труда произведут:

 

 

2-й вид – производственная функция Леонтьева:

 

 

Производственная функция Леонтьева называется производственной функцией с фиксированными пропорциями, так как предполагается, что соотношение между используемыми ресурсами – фиксированная величина.

Пусть фирма использует компьютерное оборудование и готовит стандартные документы. Пусть

в = с = 1

К – число вводных устройств, L – число операторов. За 1 час работы 1 оператор и 1 вводное устройство могут подготовить 1 документ, 2 оператора и 2 вводных устройства – 2 документа. Сколько подготовят 1 оператор и 5 устройств?

 

 

Т.о., соотношения между вводными устройствами и операторами должны быть пропорциональными.

Специалисты компании получили оценку производственной функции этой компании:

Q = F(K,L) = min(3K,4L)

Какой объем продукции будет произведен при использовании 2-х единиц труда и 5 единиц капитала?

Ответ:

 

3-й вид – производственная функция Кобба-Дугласа - находится между крайними значениями, представленными линейной функцией и функцией Леонтьева.

 

 

Зависимость в этом случае нелинейна, фиксированность соотношения между ресурсами снимается. При использовании производственной функции Кобба-Дугласа предполагается, что

 

 

Имея производственную функцию в алгебраическом виде, можно вычислить различные показатели продуктивности. Пусть оценка производственной функции Кобба-Дугласа для компании:

 

Какова средняя продуктивность при использовании 4 единиц труда и 9 единиц капитала?

 

Предельная продуктивность: если производственная функция линейная, то

 

Следовательно, предельная продуктивность ресурса при линейной производственной функции не зависит от количества используемого ресурса, то есть не подчиняется закону снижающейся предельной производительности.

Предельная же производительность при производственной функции Кобба-Дугласа зависит от количества используемых ресурсов:

 

 

Если капитал зафиксирован в краткосрочном периоде в размере 1, то какое количество труда должна использовать компания, чтобы максимизировать прибыль при ставке единицы труда в 2 денежные единицы?

Ответ:

 

 

3. Изокванты

Следующая наша задача – определение оптимального выбора труда и капитала в долгосрочном плане, когда оба эти ресурса можно изменить.

Существуют различные комбинации этих ресурсов, позволяющие менеджеру осуществить один и тот же выпуск продукции. Например, на автомобильном конвейере можно собрать за час определенное количество машин, используя 10 работников и 1 робот, но можно собрать тот же объем, используя 3-х работников и 2 робота. Чтобы минимизировать производственные издержки, менеджеру необходимо определить, при какой комбинации ресурсов выпуск заданного количества продукции обходится компании дешевле.

Основной инструмент, позволяющий разобраться в том, каким образом можно использовать различные наборы ресурсов для производства заданного количества продукции – изокванты.

Изокванты – это

 

Любая комбинация труда и капитала вдоль изокванты обеспечивает один и тот же объем продукции.

На рисунке изображен типичный набор изоквант.

 

Если использовать больше обоих видов ресурсов, изокванта станет более высокой, то есть если перемещаться по изоквантам в направлении от начала координат, то объем выпускаемой продукции будет расти.

Форма изоквант вогнутая. Это означает, что один вид ресурсов не может быть в полной мере заменен другим. Так, если идти от комбинации А и заменять капитал трудом, то потребуется все возрастающее количество труда для замещения каждой последующей единицы капитала.

Ставка, по которой

 

 

MRTS для комбинации труда и капитала равна

 

Для различных производственных функций будут и различные предельные ставки технического замещения. Например, у линейных производственных функций изокванты также линейны, так как в этом случае ресурсы являются полностью взаимозаменяемыми.

 

 

У Леонтьевских производственных функций изокванты имеют L- образную форму. В этом случае ресурсы должны использоваться в постоянном соотношении друг с другом и менеджер не может заменить один из них каким-либо количеством другого, не меняя при этом прежнего объема выпускаемой продукции. Таким образом для производственных функций Леонтьева показателя MRTS не существует, т.к. вдоль изокванты не происходит замещения одного ресурса другим.

 

 

Для большинства производственных функций изокванты лежат между этими крайними случаями. Ресурсы являются частично замещающими друг друга, причем показатель этого замещения меняется вдоль изокванты.

 

 

4. Изокосты

Изокосты – это показатели, которые

 

 

Компания может истратить одни и те же средства на приобретение самых разных комбинаций ресурсов. Если представить это в графическом виде, то линия, которая соединяет такие комбинации, называется изокостой.

Пусть компания тратит на ресурсы С единиц денежных средств. Тогда стоимость труда и капитала в совокупности:

 

где w – ставка заработной платы, r – цена единицы капитала. Полученное уравнение является формулой для изокосты.

 

 

Если производитель хочет увеличить использование обоих ресурсов, ему придется потратить больше средств.

 

 

При изменении цен на ресурсы меняется положение изокосты.

 

5. Минимизация стоимости

Понятиями изоквант и изокост можно пользоваться для определения количества ресурсов, при использовании которых издержки минимальны.

Рассмотрим комбинацию ресурсов, соответствующую точке А на рисунке. Она лежит на изокванте Q₀ (то есть позволяет выпустить Q₀ продукции). Она лежит также на изокосте, проходящей через точку А.

 

При комбинации ресурсов, обеспечивающей минимум производственных затрат, наклон изокванты

равен

То есть при комбинации ресурсов, обеспечивающей минимум затрат:

 

 

Если условие не соблюдается, техническая ставка, по которой производитель может замещать труд капиталом, будет отличаться от рыночной, по которым он мог бы заменять один ресурс другим. Например, в точке А

 

 

Тогда

 

 

Чтобы минимизировать производственные издержки при заданном объеме выпускаемой продукции, предельная продуктивность на каждую истраченную д.е. должна быть

 

Если, например, , труд оказывается более полезен, чем капитал, компания должна

количество используемого труда и - капитала. При этом компания сократит свои издержки, оставаясь на прежнем уровне производства.

Пример: В компании для подготовки отчетов используется труд двух операторов и 4 компьютерных процессора. Предельная продуктивность оператора – 50 страниц в день, процессора – 500 страниц в день. Ставка оплаты труда оператора – 1 д.е. в день, арендная плата за использование процессора – 50 д.е. в день. Организована ли деятельность компании в оптимальном режиме с точки зрения минимизации издержек.

Ответ:

 

 

Оптимальное ресурсное замещение

Изменение в цене одного ресурса приводит к изменению состава комбинации, соответствующей минимуму производственных издержек. Пусть первоначально изокостой была линия 1 и производитель минимизировал свои издержки при комбинации А, выпуская Q₀ единиц продукции.

 

С учетом наклона изокосты, соответствующей новой ставке заработной платы, минимизацию издержек в новых условиях при обеспечении прежнего объема продукции можно осуществить, если избрать комбинацию В, в которой угол наклона изокосты равен углу наклона изокванты 2.

Из-за относительного повышения цены труда по отношению к капиталу производитель замещает часть дорогого ресурса более дешевым.

Отсюда важный принцип оптимального ресурсного замещения:

 

 

Например, на рисунке показаны изокоста и изокванта для компании, выпускающей ковры и пледы, для производства которых используются компьютеры и работники (капитал и труд).

 

Теперь: пусть из-за сокращения предложения кремниевых чипов ставка арендной платы возросла до 40 д.е. Изокоста повернулась в положение 2. Чтобы выпустить прежний объем продукции, менеджеру придется истратить большую сумму, чем С₀. Дополнительные затраты перемещают изокосту 2 в положение 3. Новая комбинация соответствует 10 единицам капитала и 120 единиц труда.

Тогда С₁ = 2800, что выше С_0.

 

6. Стоимостная функция

Из предыдущих вопросов мы поняли, что при заданных ценах на ресурсы различные изокванты приводят к различным производственным издержкам, даже если обеспечить оптимальное соотношение между трудом и капиталам. Чем на более высокой уровень изокост мы выходим, тем издержки становятся больше.

Обозначим издержки компании на выпуск продукции, соответствующей изокванте Q_, как С(Q). Функция С(Q) называется

Рассмотрим краткосрочный период, то есть промежуток времени, в течение которого количество некоторых ресурсов постоянно. Так как ресурсы требуют затрат независимо от того, постоянны они или переменны, то и общие издержки будут состоять из затрат на фиксированные и переменные ресурсы. Их сумма и будет краткосрочной стоимостной функцией.

Рассмотрим предыдущий пример. Если задать, что стоимость единицы капитала составляет 1000 д.е., единицы труда – 400 д.е., можно вычислить постоянные и переменные издержки

 

 

К-фикс. ресурс (зад-ся)	L- перем ресурс (зад-ся)	Q(задается)	Пост. издерж-ки - FC	Перем. издерж-ки - VC	Общие издерж-ки - TC	Ср.пост.изд-ки - AFC	Ср.пер. изд-ки - AVC	Ср. общ. изд-ки - ATC	Пред.изд-ки МС
				-		∞	-	∞	-
						26,32	5,26	31,58	5,26
						8,06	3,23	11,29	2,33
						4,07	2,44	6,51	1,64
						2,55	2,04	4,59	1,37
						1,82	1,82	3,64	1,27
						1,41	1,69	3,1	1,27
						1,17	1,64	2,81	1,37
						1,02	1,64	2,66	1,64
						0,94	1,69	2,63	2,33
						0,91	1,82	2,73	5,26

 

Зависимость между средними и предельными издержками

Обратим внимание, что 1)

 

 

2) при увеличении Q кривые ATC и AVC приближаются друг к другу, так как они отличаются на величину AFC, а средние постоянные издержки при увеличении объема продукции распределяются по все большему числу выпущенной продукции.

Возвращаясь к стоимостным функциям, можно сказать, что на практике они могут иметь самые разные формы. Однако существует одна из них, позволяющая аппроксимировать любые стоимостные функции. Это

 

Имея эту формулу, можно непосредственно определять функцию предельных издержек:

 

 

В долгосрочном плане все издержки являются переменными, так как менеджер может менять любые ресурсы, применяющиеся в производстве. На рисунке изобразим кривую краткосрочных издержек ATCо при допущении, что часть факторов производства является фиксированной.

 

Средние общие издержки при производстве Qо единиц продукции составят ATCо (Qо). В краткосрочном периоде, если компания захочет увеличить производство до Q₁, она не сможет скорректировать фиксированные факторы, и ей придется увеличить издержки до ATCо (Q₁). Однако в долгосрочном периоде компания может изменять все ресурсы, необходимые для производства продукции.

Пусть ATC₁

Это кривая средних издержек, после того, как компания скорректировала оптимальным образом все факторы производства. Изменив ранее фиксированные факторы, компания может выпускать Q₁ единиц продукции с более низкими средними издержками ATC₁ (Q₁)_. Если компания хочет увеличить объем производства до Q₂, она будет перемещаться в краткосрочном периоде до уровня ATC₁ (Q₂), пока снова не изменит фиксированные факторы, чтобы обеспечить более низкие средние издержки при производстве Q₂ единиц продукции, ATC₂ (Q₂).

Кривая долгосрочных средних издержек (LRAC) определяет минимальные средние издержки при производстве различных объемов выпускаемой продукции с с учетом изменяющихся значений всех факторов производства. Она является нижней огибающей всех кривых краткосрочных средних издержек.

Эффект масштаба производства.

Обратим внимание, что кривая долгосрочных средних издержек имеет U- образную форму.

 

 

Однако после достижения точки Q^* дальнейшее увеличение выпуска продукции сопровождается возрастанием средних издержек. Это явление известно как отрицательный экономический эффект.

Иногда имеющаяся в отрасли технология позволяет выпускать с одними и теми же средними издержками разные объемы продукции.