Инъективные, сюръективные отображения
12 Определение 1.Отображение : называется инъективным или инъекцией, если два различных элемента из множества имеют образами при отображении два различных элемента из множества , т.е. , . Например, отображение : приведенное на следующей схеме
является инъекцией множества в множество . Здесь . Определение 2. Отображение : называется сюръективным или сюръекцией, если каждый элемент из множества является образом при отображении по крайней мере одного элемента из , т.е. такой, что , т.е. . Сюръективное отображение – это отображение множества на множество . Например, отображение :
является сюръективным, а отображение :
не является сюръективным. Если при отображении : , то отображение - сюръективное. Теорема. Отображение : биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно. Доказательство. Пусть : - биективно. Тогда каждый элемент является образом при отображении некоторого элемента , следовательно, отображение - сюръективно. А так как этот элемент - единственный, то из этого следует, что разным элементам соответствуют разные образы, т.е. отображение инъективно. Обратно, пусть : - инъективно и сюръективно одновременно. Тогда в силу сюръекции , а ввиду инъективности отображения содержит единственный элемент. Примеры. 1. , Отображение не сюръективно, т.к. элемент не является образом ни одного элемента из . Оно не является и инъективным, т.к. два различных элемента и имеют образом один и тот же элемент . 2. : , Отображение сюръективно, но не инъективно. 3. : , Отображение сюръективно и инъективно одновременно, т.к. оно биективно.
Графики взаимнообратных функций 1. : , , - нечетное. Уравнение для любого имеет единственное решение , поэтому функция : обратима и имеет обратную функцию : по правилу . Обозначим аргумент обратной функции через , получим : , . Рассмотрим графики функций и . . График обратной функции (рис. 6б) симметричен графику функции (рис. 6а) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
0 0
Рис. 6а Рис. 6б
2. Отметим, что следующая функция не обратима: : , , - четное.
0
Рис. 7
3. : , , : , .
0 0
Рис. 8а Рис. 8б
4. : , , - нечетное : , .
0 0
Рис. 9а Рис. 9б
5. : , , - четное. Эта функция не обратима.
0
Рис. 10 6. : , , : , .
1 1
0 1 0 1
Рис. 11а Рис. 11б
7. : , , , , : , .
1
0 0 1
Рис. 12а Рис. 12б
8. : , , : , .
1
0 1 -1 0 1
-1
Рис. 13а Рис. 13б
9. : , , : , .
1 0 -1 0 1 -1
Рис. 14а Рис. 14б
10. : , , : , .
0 0
Рис. 15а Рис. 15б 11. : , , : , .
0
12
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1891)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |