Контрольная работа № 5 (Теория вероятностей и математическая статистика)

Специальность 220400.62 Управление в технических системах

Контрольные работы по математике № 4, 5 (3 семестр)

(Обратите внимание на то, что в КР№4 задачи сгруппированы по вариантам, а в КР№5 – по темам.)

Контрольная работа № 4 (Числовые и функциональные ряды)

Вариант 1

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =1.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=4.

 

 

Вариант 2

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =1.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=2.

 

Вариант 3

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =–2.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T.

 

Вариант 4

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =1.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=3.

 

 

Вариант 5

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =–1.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=4.

 

Вариант 6

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =0.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=4.

 

Вариант 7

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =1.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=4.

 

Вариант 8

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =0.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=4.

 

Вариант 9

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =0.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

8. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=2.

 

Вариант 10

1. Записать формулу общего члена ряда .

2. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость ряда .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя достаточный признак сходимости.

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

5. Записать ряд в развернутом виде. Найти его область сходимости. Вычислить с точностью 0,01 сумму ряда в точках , где – радиус сходимости, – центр интервала сходимости.

6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя таблицу разложений элементарных функций в степенные ряды, если =0.

7. Вычислить интеграл с точностью 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

. Разложить в ряд Фурье изображенную на рисунке периодическую функцию с периодом T=4.

 

Контрольная работа № 5 (Теория вероятностей и математическая статистика)

 

Задачи 1.1 – 1.10

1.1. В корзине 7 белых и 6 черных шаров. Какова вероятность того, что, что среди 4 случайно взятых шаров будет 2 белых?

1.2. Номера телефонов пятизначные и не могут начинаться с нуля. Какова вероятность того, что случайно взятый номер состоит из нечетных цифр?

1.3. 5 шаров случайно разложили по пяти ящикам. Какова вероятность того, что все шары окажутся в одном ящике?

1.4. В корзине 6 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что, среди 5 случайно взятых шаров будет хотя бы 1 белый?

1.5. Номера телефонов пятизначные и не могут начинаться с нуля. Какова вероятность того, что случайно взятый номер состоит из различных нечётных цифр?

1.6. 6 шаров случайно разложили по 10 ящикам. Какова вероятность того, что все шары окажутся в разных ящиках?

1.7. В корзине 8 белых и 5 черных шаров. Какова вероятность того, что, что среди 4 случайно взятых шаров хотя бы 1 черный?

1.8. 4 шара случайно разложили по трем ящикам. Какова вероятность того, что ни один ящик не окажется пустым?

1.9. На полке стоят 5 книг, из них 2 книги по математике. Какова вероятность того, что книги по математике окажутся рядом?

1.10. Номера телефонов пятизначные и не могут начинаться с нуля. Какова вероятность того, что случайно взятый номер состоит из различных нечетных цифр?

 

 

Задачи 2.1 – 2.10

 

2.1. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания у них равны соответственно 0,5, 0,7, 0,9. Какова вероятность того, что хотя бы один из них попадет в мишень?

2.2. В корзине 6 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что, доставая из корзины один за другим 2 шара, мы первым достанем белый шар, а вторым – черный?

2.3. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания у них равны соответственно 0,6, 0,7, 0,8. Какова вероятность того, что ровно один из них попадет в мишень?

2.4. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания у них равны соответственно 0,4, 0,6, 0,9. Какова вероятность того, что ровно два из них попадут в мишень?

2.5. В корзине 8 белых и 9 черных шаров. Какова вероятность того, что, доставая из корзины один за другим 2 шара, мы первым достанем черный шар, а вторым – белый?

2.6. В соревнованиях участвуют 5 мастеров спорта и 7 разрядников. Вероятность победы мастера равна 0.7, разрядника – 0,4. Какова вероятность того, что случайно взятый спортсмен, выступающий под первым номером победит?

2.7. Мимо бензоколонки проезжают автомашины, 30% которых грузовые, остальные – легковые. Вероятность остановки для заправки у грузовых машин равна 0,8, у легковых – 0,6. Какова вероятность того, что случайно взятая машина – остановится?

2. 8. В первой корзине 8 белых и 9 черных шаров, во второй – 5 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что, переложив из первой корзины во вторую 2 шара, мы достанем из второй корзины черный шар?

2.9. В соревнованиях участвуют 5 мастеров спорта и 7 разрядников. Вероятность победы мастера равна 0.7, разрядника – 0,4. Какова вероятность того, что победивший спортсмен – мастер?

2.10. Мимо бензоколонки проезжают автомашины, 30% которых грузовые, остальные – легковые. Вероятность остановки для заправки у грузовых машин равна 0,8, у легковых – 0,6. Какова вероятность того, что случайно остановившаяся машина – легковая?

 

Задачи 3.1 – 3.10

 

3.1. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье с пятью детьми 3 мальчика?

3.2. Вероятность того, что деталь нестандартна равна 0,13. Какова вероятность того, что из 150 деталей ровно 20 нестандартных?

3.3. Вероятность того, что деталь нестандартна равна 0,13. Какова вероятность того, что из 150 деталей от 10 до 15 нестандартных?

3.4. Вероятность того, что баскетболист попадёт в корзину равна 0.6. Какова вероятность того, что из 10 бросков от 2 до 4 будет успешных?

3.5. Вероятность того, что деталь нестандартна равна 0,0002. Какова вероятность того, что из 15000 деталей ровно 2 нестандартных?

3.6. Вероятность того, что деталь нестандартна равна 0,0002. Какова вероятность того, что из 15000 деталей от 2 до 4 нестандартных?

3.7. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье с пятью детьми хотя бы одна девочка?

3.8. Вероятность всхода семени равна 0,75. Какова вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 600 до 700?

3.9. Вероятность всхода семени равна 0,75. Какова вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет более 800?

3.10. Вероятность всхода семени равна 0,75. Какова вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет менее 700?

3.15. 30% юношей призывного возраста освобождаются от военной службы по состоянию здоровья. Найти вероятность того, что из 3000 юношей не менее 1200 будут освобождены от военной службы.

 

Задачи 4.1 – 4.10

 

4.1. Мяч бросается в корзину 3 раза, вероятность попадания при одном броске равна 0,7. Написать ряд распределения случайной величины: число попаданий в корзину. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.2. Из корзины с 5 белыми и 4 черными шарами извлекаются 3 шара. Написать ряд распределения случайной величины: число белых шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.3. Игральная кость бросается 3 раза. Написать ряд распределения случайной величины: число выпадений пятерки или шестерки. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.4. Из корзины с 4 белыми и 6 черными шарами извлекаются 3 шара. Написать ряд распределения случайной величины: число черных шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.5. Мяч бросается в корзину до первого попадания, но не более 3 раз, вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Написать ряд распределения случайной величины: число сделанных бросков. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.6. Стрелок стреляет в цель до первого попадания, но не более 3 раз, вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Написать ряд распределения случайной величины: число сделанных выстрелов. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.7. Игральная кость бросается один раз. Написать ряд распределения случайной величины: квадрат выпавпего числа. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.8. Монета бросается 4 раза. . Написать ряд распределения случайной величины: число появлений герба. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.9. В классе 10 мальчиков и 8 девочек. Выбираются 3 первых человека в списке. Написать ряд распределения случайной величины: число мальчиков в выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию.

4.10. В большой партии деталей 60% нестандартных. Написать ряд распределения случайной величины: число нестандартных деталей среди трех случайно взятых. Найти математическое ожидание и дисперсию.

 

Задачи 5.1 – 5.10

 

В задачах 5.1 – 5.5 дана функция распределения непрерывной случайной величины, требуется найти ее плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию. В задачах 5.6 – 5.10 дана плотность распределения непрерывной случайной величины, требуется найти ее функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

 

5.1. .

 

5.2. .

 

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6. .

5.7. .

5.8. .

5.9. .

5.10. .

 

Задачи 6.1 – 6.10

 

Для изучения количественного признака из генеральной совокупности извлечена выборка объема , имеющая данное статистическое распределение.

а) Построить полигон частот по данному распределению выборки (то есть график, точки которого соединены ломаной).

б) Найти выборочное среднее , выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение , исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратичное отклонение .

в) При данном уровне значимости проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

г) В случае принятия гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при данном уровне надежности .

 

 

6.1.

xi
ni

 

6.2.

xi
ni

 

6.3.

xi
ni

 

6.4.

xi
ni

 

6.5.

xi
ni

 

6.6.

xi
ni

 

6.7.

xi
ni

 

6.8.

xi
ni

 

6.9.

xi
ni

 

6.10.

xi
ni