Нелинейное программирование
Задачи с линейной целевой функцией и нелинейной системой Ограничений
Задача 2.1.1. На множестве решений системы неравенств ìx 2 + y 2 £ 36, ï í x ³ 0,
найти глобальные экстремумы функции z=2x+y. Решение. На рисунке 8 множество допустимых решений заштриховано. Это множество выпукло. Линиями уровня функции z=2x+y являются параллельные прямые с угловым коэффициентом К = -2. Очевидно, что глобальный минимум до- стигается в точке О (0; 0), а глобальный максимум - в точке А касания прямой уровня и окружности x2+y2=36. Найдем координаты точки A. Для этого достаточно составить уравнение прямой и решить систему, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности. Заметим, что прямая перпендикулярна линии уровня, а, следовательно, ее угловой коэффициент К1 равен ½ (K1K = -1). Прямая l проходит через точку О и имеет угловой коэффициент
ìx 2 + y 2 = 36 K = 1 . 1 2 Поэтому ее уравнение таково: y = 1 x. Решая систему ï í ï y = î 1 x, 2
получаем:
x = 12 × 5 ,
y = 6 × 5 . y Итак, глобальный минимум, равный 0, достигается в точке О(0;0), а глобаль-
ный максимум, равный l 6 5 ,- в точке А(2,4× 5 ; 1,2 5). Локальных экстрему- A мов, отличных от глобальных, функция не достигает. 0 x рис.8
Задача 2.1.2. Найти глобальные экстремумы функции стве решений системы неравенств z = x - y - 5 на множе-
ïx + y ³ 3,5 í ï0 £ x £ 5 ïî0 £ y £ 5. Решение. Множество допустимых решений состоит их двух отдельных частей, каждая из которых выпукла (рис. 9). Вычислим значение целевой функции z = x - y - 5 в точках A, B, C, D, K, N, M,
L, предварительно найдя их координа- y ты: N M (x-1)y=1 y=5 A(5;0), B(5; 1 ), C(3; 4 1 ), D(3,5;0), 2 4 K(1 1 ;2), L(0;3,5), N(1 1 ;5), M(0;5). L
Z = - 1 , B 4 ZC= -2,5, ZD= -1,5,
B
ZK= -5,5, ZL= -8,5, ZM = -10. ZN= -8,8, ZA = 0, 1 2 3 D 4 5 6 x Итак, глобальный максимум до- стигается в точке (5;0) и равен 0, а гло- бальный минимум- в точке (0;5) и равен -10. Нетрудно видеть, что в точке С функция достигает локального минимума, равного -2,5, который отличен от глобального (значение целевой функции в точке С меньше, чем значение ее в соседних вершинах B и D ). Аналогично, в точке K достигается локальный максимум, отличный от глобального. Задача 2.1.3. Дана целевая функция ограничений z = x1+ x2(max; min) и нелинейная система ì4x1+ 3x2£ 24, ï
îx1³ 0, x2³ 0.
Решение. Изобразим на плоскости X10X 2 ( X 0Y ) множество решений системы
ограничений. Построим линию, соответствующую уравнению Запишем это уравнение в виде: (x1 - 2)(x2 +1) = 4 .
x2= -1 + 4 . x1- 2
Графиком этой функции является гипербола, уравнения ее асимптот: x1= 2; x2= -1. В первой части первого неравенства удовлетворяют все точки, которые распо- ложены не ниже построенной ветви гиперболы. Второму неравенству системы ограничений (4x1+ 3x2£ 24) удовлетворяют все x2 точки, которые расположены под прямой
или на этой прямой. Таким обра- 1 n рис.10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 зом, множеством решений системы ограниче- ний является множество точек, заштрихованное на рис. 10. Линиями уровня является прямые x1+ x2= z0(z0- const). Нормалью к этим прямым является вектор nr = (1;1) .
Если передвигать линии уровня в направлении нормали, то значение z0будет
увеличиваться, а если передвигать эти линии в противоположном направлении, то
z0 будет уменьшаться. 1) наибольшее значение функции цели будет достигаться в точке А, являю- щейся точкой пересечения прямой и гиперболы. Найдем координаты точки А: ì(x1 - 2)(x2+ 1)= 4, í î4x1 + 3x2= 24.
Выразим из первого уравнения x2
и подставим его во второе уравнение: = 6 - x1,
ï x1- 2 í
Отсюда, получаем систему: ï4x ïî 1 + 3 6 - x1 x1- 2 = 24.
í x1- 2 ï 2 î4x1 - 35x1 + 66 = 0.
Решением этой системы являются две пары чисел:
æ ç х1= è
; x2=
÷ 3 ø
è 4 ÷ , при этом
zmax = 11 4 + 13 3 = 85 . 12 2) минимальное значение функции цели будет достигаться в точке В, в кото-
рой линии уровня x1+ x2= z0 совпадает с касательной к гиперболе.
Запишем линию уровня в виде: x2 = -x1 + z0, отсюда следует, что угловой ко-
эффициент касательной к гиперболе в точке В равен -1. Значит, производная в точ- ке касания равна -1: ' æ 6 - x1ö 1 x2 = çç ÷÷ = - .
Отсюда, имеем: è x1-1 ø
(x1 - 2)2
x1= 4 = 1; (x1
или - 2)2= 4;
x1= 0 .
Значение x1= 0 принадлежит другой ветви параболы и, поэтому, является по-
сторонним решением. Координаты точки В(4;1), при этом
zmin
= 4 +1 = 5 .
z = x1+ 3x2и нелинейная система ì(x1 - 5)2+ (x - 3)2³ 9, ï ï(x - 5)2+ (x - 3)2£ 36, í 1 2
îx1³ 0; x2³ 0. Найти глобальные экстремумы.
Решение. Изобразим на плоскости X10X 2 ( X 0Y ) область допустимых решений
системы ограничения задачи. Множеством решений первых двух неравенств:
(x1 (x - 5)2+ (x
- 3)2 ³ 9, - 3)2 £ 36. 1 2 является область (кольцо), заключенная между двумя окружностями и с общими
центром в точке С(5;3) и радиусом R1= 3 и R2= 6 . Множеством решений неравен-
ства x1+ x2³ 8 является плоскость, расположенная над прямой x1+ x2= 8 . Область
допустимых решений системы ограничений на рис. 11 выделена штриховкой. Ли-
нии уровня функции цели - прямые x1+ 3x2= z0(z0- const) . Нормаль к этим прямым - есть вектор nr = (1;3). Перемещаем линию уровня в направлении нормали до тех пор,
пока она не станет касательной к верхней окружности. Обозначим точку касания буквой D; в этой точке значение Z будет макси- мальным. Угловой коэффициент касательной К равен коэффициенту прямой x1+ 3x2= z0. значит, k = - . 3 С другой стороны, угловой коэффициент касательной для окружности
(x1 - 5)2+ (x - 3)2 = 36 найдем, дифференцируя это уравнение по переменной x1:
x2 - 5) + 2(x2 - 3) × x' = 0
9 D ' x1- 5 .
6 Решим систему уравнений: 4 ì x1- 5 1
í 2 2 ï = - , - 3 3 2 2 1 n î(x1- 5) + (x2- 3) = 36;
-1 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 x1 ìx2= 3x1 - 12, í
-2 - 15)2= 36; ìx2= 3x1 - 12, í 2
рис.11 î5x1 - 50x1+ 107 = 0.
Одно решение этой системы x = 25 - 3 1 5 10 ; x = 15 - 9 10 5
является посторонним,
x2не удовлетворяет условию неотрицательности.
Другое решение x = 25 + 3 1 5 10» 6.9; x = 15 + 9 5 10» 8.7 дает координаты точки D.
При этом zmax = x1 + 3x2 = 70 + 30 5 10= 14 + 6 10 .
Для определения минимального значения функции цели будем перемещать линию уровня в направлении, противоположном вектору нормали nr , до тех пор, пока у нее не окажется одна общая точка с областью допустимых решений. Такой точкой является точка Е=(8;0). Значит, Zmin = 8 , если x1= 8; x2= 0.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (636)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |