Формулы сокращенного умножения
Пример 1 Преобразовать в дробь степень Решение
Формулы сокращенного умножения
Имеем: (а + b)2 = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а2 + аЬ + аЬ + b2 = а2 + 2аЬ + b2. Аналогично получаем: (a - b)2 = (а-b)(а-b) = а2-аb-bа + b2 = а2- 2аb + b2. Итак, На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности. Пример 1. Раскрыть скобки в выражении: а) (Зх + 2)2; б) ( 5а2 - 4b3)2 Решение. а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b — число 2. (Зх + 2)2 = (Зх)2+ 2 • Зх • 2 + 22 = 9x2 + 12x + 4. б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли авыступает5а2, а в ролиb выступает 4b3. Получим: (5а2-4b3)2= (5а2)2 - 2- 5a2 • 4b3 + (4b3)2= 25a4-40a2b3 + 16b6. При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что Это следует из того, что (- а)2 = а2. Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле 712 = (70 + 1)2 = 702 + 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041; Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например, 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404; 482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 • 50 • 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304. Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Имеем: 852 = (80 + 5)2 = 802 + 2• 80 • 5 + 52 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225 (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25); 652 = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).
Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а2 - b2. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а2 - b2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов. Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а2 - b2, значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности — это (a- b)2, значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так:
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (694)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |