Расчет размерных цепей с применением теории вероятности

 

Необходимые условия применения метода:

1. размеры рассеиваются о полю допуска по определенному закону;

2. при сборке размеры сочетаются случайным образом.

 

Рис.

М(х) – координата центра рассеивания кривой;

D₀ – координата центра поля допуска;

Т=6s

Правила сложения различных величин:

1. Величины, характеризующие систематические погрешности, складываются алгебраически. К таким величинам относятся координаты центров рассеивания - М(х);

2. Величины, характеризующие случайны погрешности, складываются квадратически.

 

Т.о.:

А учитывая, что для нормального закона распределения D₀=М(х), то:

, а или , а учитывая, что Т=6s, имеем .

Однако практические кривые рассеивания размеров могут отличаться от нормального распределения. Характеристиками отличия законов распределения от нормального являются a и к (рис.):

a - коэффициент асимметрии; к – коэффициент относительного рассеивания.

Рис.

a характеризует степень асимметричности кривой и определяется как отношение абсолютной величины асимметрии к половине поля допуска:

Т.о. координата поля рассеивания определяется как: , а учитывая , получаем:

или

Коэффициент относительного рассеивания: ; .

Тогда и . Или , т.е.:

.

При нормальном законе распределения к_D=1 и к₁=к₂=…=к_n-1, т.е. одинаковы, то:

Приведенные формулы верны для размерных цепей с параллельными звеньями, т.е. x=±1. При непараллельных звеньях размерных цепей:

Верхнее и нижнее отклонения звенев:

Отклонения / Для звеньев:	замыкающего	составляющего
верхнее
нижнее

 

Определение величин a_I и a_D.

Ι. При рении прямой задачи рекомендуется применять следующие значения коэффициента:

- a_i:

1. для охватываемых поверхностей (вал) +0,1;

2. для охватывающих поверхностей (отверстие) -0,1;

3. для размеров, связывающих уступы, оси отверстий и плоскости, а также торцовые поверхности деталей типа тел вращения принимаются равными 0.

- коэффициент асимметрии замыкающего звена a_D: принимается равным 0 (всегда);

- коэффициент относительного рассеивания замыкающего звена к_D=1 – принимается всегда.

- коэффициент относительного рассеивания составляющих звеньев к_i:

1. для многозвенных цепей принимается равным 1,2 (с числом звеньев 5 и более);

2. для малозвенных цепей принимается равным 1,3 (с числом звеньев менее 5).

 

ΙΙ. При решении обратной задачи, когда число составляющих звеньев:

- 5 и более принимаем: a_D=0, к_D=1;

- менее 5, a_D и к_D определяются по формулам:

Порядок расчета размерной цепи с применением теории вероятности рассмотрен выше (такой же, что и при расчете на max-min), т.е.:

w_D£Т_D

Перед началом расчетов рекомендуется составить таблицу по форме:

Размеры и допуски	D0i	xi	ai	кi

 

Если поле рассеивания при решении задачи получается больше, чем заданное поле допуска замыкающего звена, а ужесточение допусков затруднено, то можно подсчитать процент сборок, у которых точность будет нарушена:

ТD/Т'D		0,97	0,93	0,9	0,87	0,83	0,8	0,77	0,73	0,7	0,67	0,63	0,6	0,57
% брака	0,27	0,38	0,52	0,7	0,94	1,24	1,64	2,14	2,78	3,58	4,56	5,74	7,18	8,92

 

ПРИМЕР.

 

Размерные цепи с векторными звеньями

 

Векторные звенья характеризуются не только величиной, но и направлением:

Рис.

Рассмотрим пример зацепления двух конических зубчатых колес:

Рис.

Скалярные звенья: В₁, В₂, В₃, В₄.

Векторные звенья: В₅, В₆, В₇, В₈, В₉, В₁₀, В₁₁.

Звенья:

В₅ и В₇ – несовпадение осей дорожки качения и отверстия внутреннего кольца подшипника нижней и верхней опоры;

В₆ и В₈ – несовпадение осей дорожки качения и наружной поверхности внешнего кольца подшипника нижней и верхней опоры;

В₉ и В₁₀ – несовпадение оси шейки вала под шестерню относительно осей шеек под подшипники;

В₁₁ – несовпадение оси отверстия и делительного конуса зубчатого колеса.

 

 

Звенья, принадлежащие неподвижным деталям будем называть неподвижными векторными звеньями (В₆ и В₈). Звенья, принадлежащие вращающимся деталям будем относить к вращающимся звеньям (В₅, В₇, В₉, В₁₀, В₁₁)

Неподвижные звенья приводят к изменению замыкающего звена на постоянную величину.

Вращающиеся звенья приводят к периодическому изменению замыкающего звена (т.е., к определенному значению биения).

 

Расчетные формулы:

Координата середины поля допуска замыкающего звена равна 0, т.к. направление модуля любого звена в сборках равновероятно в любом направлении от 0 до 2p.

D_Оv=0

Поле допуска замыкающего звена:

где T_Vi – несовпадение осей – эксцентриситет.

К_V=0,85 – когда размерная цепь состоит из одних векторных звеньев;

К_V=0,75 – когда в размерной цепи кроме векторных звеньев имеются и скалярные звенья.

Суммирование погрешностей различных видов

Суммарное поле допуска

D_0S=D_0D+D_0V=D_0D

 

Определение передаточных отношений для векторных звеньев:

x_1,2,3,4,11=1. Для остальных:

Для верхней опоры:

	, т.е. . Т.о.: x7, 8, 10=
	, т.е. . Т.о.: x5=

 

Расчет плоских размерных цепей с непараллельными звеньями.

 

Все положения и расчетные формулы для цепей с параллельными звеньями справедливы и для плоских цепей с непараллельными звеньями. Разница лишь в том, что в последних (т.е. в цепях с непараллельными звеньями) передаточное отношение не равно 1, а равно косинусу угла между направлением составляющего звена и замыкающего звена.

 

ПРИМЕР.

Имеется чертеж механизма, предполагающегося выпускать серийно, со значениями всех звеньев. Требуется проверить правильность назначения допусков размеров (составляющих звеньев).

Т.к производство – серийное, расчет будем вести с применением теории вероятности.

 

Рис.

1. Зарисуем размерную цепь.

 

Рис

2. Определим увеличивающие и уменьшающие звенья.

В₁, В₄ – уменьшающие;

В₂, В₃ – увеличивающие

 

3. Найдем передаточные отношения.

x₁=-cosb;

x₂=cos(90-b)=sinb;

x₁=cosb;

x₁=-cos(90-b)=-sinb;

4. Определим номинальное значение замыкающего звена через уравнение размерной цепи в номиналах:

Т.о.: В_D=-В₁cosb+B₂sinb+ В₃cosb-B₄sinb

Примем b=45⁰.

5. Для удобства дальнейших вычислений расчеты сведем в таблицу:

Звенья Вi	xi	D0i	ai	кi
ВD=74±0.07				кD=?
В1=60±0.04	-0,714			1,3
В2=73,8±0.04	0,714			1,3
В3=111,86±0.04	0,714			1,3
В4=21±0.04	-0,714			1,3

 

В^'_D=74 мм.

Определим расчетное поле допуска замыкающего звена по формуле: . Т.к. число составляющих звеньев размерной цепи меньше 5, то: .

Подставив соответствующие значения получим к_D=1,05 и Т'_D=0,128 мм. Т.е. условие 0,128<0,14 выполняется. И окончательно: =0; ; . Или 74±0,064 мм.