Точки разрыва функции и их классификация
ГЛАВА 3 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Определение непрерывности функции в точке С понятием предела функции тесно связано понятие непрерывности функции. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Чтобы уяснить понятие непрерывности, рассмотрим точку , в которой функция непрерывна (рис.3.1).
Рис. 3.1
Из рисунка видно, что, во-первых, в точке функция принимает значение . Во-вторых, если , то (независимо от того, как слева или справа). Таким образом, в точке выполняется условие: если , то . Это условие можно записать так: .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:
Данное равенство означает выполнение трех условий: 1. функция определена в точке и в ее окрестности; 2. функция имеет предел при ; 3. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , должны быть выполнены все три перечисленные условия. Нарушение хотя бы одного из них в некоторой точке означает, что функция разрывна в этой точке. Когда , то , и равенство (1) можно записать в виде . Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию вместо аргумента х подставить его предельное значение . Для некоторых практических применений бывает полезно другое определение непрерывности функции, которое опирается на понятие приращения аргумента и функции (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Пусть функция определена в точке и в ее окрестности. При функция принимает значение , а при , соответственно, . Приращение функции равно . Если , то , тогда . Следовательно,
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .
Исследуя непрерывность функции в точке применяют, либо первое, либо второе определения.
3.2. Односторонняя непрерывность в точке. По аналогии с понятием предела функции слева (справа) вводится понятие непрерывности функции слева (справа). Пусть функция определена на полуинтервале , и в точке у нее существует предел слева, т.е. . Если этот предел равен значению функции в точке , т.е. или , то эту функцию называют непрерывной слева в точке . Аналогично, если функция определена на полуинтервале и или , то эту функцию называют непрерывной справа в точке . Для того, чтобы выполнялось условие непрерывности функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна как слева, так и справа в этой точке. Пользуясь односторонними пределами, условие непрерывности можно заменить равносильным ему двойным равенством, т.е., поскольку , то . Таким образом, функция непрерывна в точке , тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа, они равны между собой и равны значению функции в этой точке.
Определение. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале , и в точке непрерывна справа, т.е. , а в точке непрерывна слева, т.е. .
Точки разрыва функции и их классификация Если в точке функция не определена, или не существует предел , или при произвольном стремлении , то при функция разрывна.
Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно нарушено двойное равенство или , являющееся условием непрерывности функции в точке. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют и конечны пределы функции слева и справа, т.е. и .
При этом 1) если , то − точка устранимого разрыва (рис.3.3); 2) если , то − точка конечного разрыва (рис.3.4).
Рис. 3.3 Рис. 3.4
Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности (рис. 3.5).
Рис. 3.5
Примеры Найти точки разрыва функций и определить их род. 1. ; Функция определена при всех значениях х, кроме . Найдем пределы функции слева и справа в точке . ; . Функция в точке имеет бесконечный разрыв и − точка разрыва второго рода.
2. ; Точкой разрыва для функции является точка . Вычислим левый и правый пределы функции при . ; . Поскольку левый и правый пределы при являются конечными, то точка − точка разрыва первого рода.
3.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Приведем теоремы о непрерывных функциях без доказательств.
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного − делитель отличен от нуля).
Теорема. Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.
Теорема. Функция, обратная к монотонной и непрерывной на интервале функции, также монотонна и непрерывна на интервале .
Для основных элементарных функций (п.1.7), справедлива следующая теорема.
Теорема. Всякая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Подавляющее большинство функций, которые рассматриваются в математике, являются элементарными. Опираясь на определение элементарной функции (§1.10), непрерывность основных элементарных функций, а также на приведенные выше теоремы можно утверждать, что всякая элементарная функция непрерывна в ее области определения.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (842)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |