Решение квадратичных сравнений по простому модулю

Пусть дано сравнение x²≡a(mod p), p>2 – простое и .

Данное сравнение имеет 2 решения. Укажем, как найти эти решения.

Для p возможны следующие случаи:

p:

p≡3(mod 4) p≡1(mod 4)

p≡5(mod 8) p≡1(mod 8)

p≡9(mod 16) p≡1(mod 16)

И т. д.

а)Пусть p≡3(mod 4), т.е. p=4k+3.

По критерию Эйлера, . Подставляя сюда p, получим

a^2k+1≡1(mod p)

a^2k+2≡a(mod p)

Вернувшись сравнению, которое требуется решить, заметим, что x²≡a^2k+2(mod p), и тогда x≡±a^k+1(mod p) – искомое решение.

б) p≡5(mod 8), т.е. p=8k+5.

Найдем какой-нибудь квадратичный невычет по модулю p. Согласно св-ву 7 для символа Лежандра, таким невычетом в случае p=8k+5 будет являться «2». Тогда, согласо критерию Эйлера, 2^4k+2≡—1(mod p).

Так как a – квадратичный вычет по модулю p, то по критерию Эйлера, .

Тогда возможны два варианта: a^2k+1≡1(mod p) или a^2k+1≡—1(mod p).

В первом случае дальнейшие рассуждения проводим как в пункте а, и получаем x≡±a^k+1(mod p).

Рассмотрим подробнее второй случай. Имеем:

a^2k+1≡—1(mod p)

Для того, чтобы избавиться от знака (—) в правой части, домножим левую часть этого сравнения на 2^4k+2, а левую – на –1.

2^4k+2a^2k+1≡1(mod p)

2^4k+2a^2k+2≡a(mod p)

x≡±2^2k+1a^k+1(mod p)

Таким образом, имеются два кандидата на решение:

x≡±a^k+1(mod p).

x≡±2^2k+1a^k+1(mod p)

Вычислив и подставив каждое из них в исходное сравнение, выберем ту пару, которая удовлетворяет исходному сравнению.

в) p≡9(mod 16), т.е. p=16k+9.

Найдем N – какой-нибудь квадратичный невычет по модулю p. Тогда по критерию Эйлера, .

С другой стороны, поскольку a – квадратичный вычет по модулю p, то по критерию Эйлера, .

Тогда возникают два случая: a^4k+2≡1(mod p) или a^4k+2≡-1(mod p).

Рассмотрим первый случай: a^4k+2≡1(mod p). Поскольку показатель степени в левой части сравнения – четный, то вновь возникают два варианта: a^2k+1≡1(mod p) или a^2k+1≡—1(mod p), первый из которых приводит, как ранее, к кандидату в решение x≡±a^k+1(mod p), а второй вариант, рассуждая как в пункте б, приведем к кандидату в решения x≡±N^4k+2a^k+1(mod p).

Рассмотрим второй случай: a^4k+2≡-1(mod p). Для того, чтобы избавиться от знака (—) в правой части сравнения, домножим правую часть на N^8k+4, а левую – на –1. Получим N^8k+4a^4k+2≡1(mod p). Поскольку показатели степеней в левой части получившегося сравнения четны, то отсюда возникают два варианта: N^4k+2a^2k+1≡1(mod p) или N^4k+2a^2k+1≡-1(mod p).

Рассмотрим первый из вариантов:

N^4k+2a^2k+1≡1(mod p)

N^4k+2a^2k+2≡a(mod p)

x≡±N^2k+1a^k+1(mod p).

Рассмотрим второй из вариантов:

N^4k+2a^2k+1≡-1(mod p)

N^12k+6a^2k+1≡1(mod p)

N^12k+6a^2k+2≡a(mod p)

x≡±N^6k+3a^k+1(mod p)

Итак, получили четыре пары – кандидата на решение:

x≡±a^k+1(mod p)

x≡±N^2k+1a^k+1(mod p)

x≡±N^4k+2a^k+1(mod p)

x≡±N^6k+3a^k+1(mod p)

Вычислив и подставив в исходное сравнение, выберем ту пару, которая удовлетворяет исходному сравнению.

Рассмотренным способом можно построить решение для любого простого модуля p. Если p=2^hk+2^h—1+1, то при решении сравнения возникнет 2^h—2 пар – кандидатов в решение, каждая из которых будет иметь вид x≡±N^z(2k+1)a^k+1(mod p), где .

Главная проблема здесь – отыскание квадратичного невычета N, но поскольку, как было доказано ранее, квадратичных вычетов и невычетов по простому модулю – одинаковое количество, то невычет обязательно найдется.

Пример:

Решить сравнение x²≡8(mod 17).

17 – простое число. Выясним, имеет ли данное сравнение решение:

. Сравнение имеет 2 решения. Отыщем их.

17=2·8+1=4·4+1=8·2+1=16·1+1=32·0+17=2⁵·0+17.

h=5, k=0. Имеется 2³=8 пар-кандидатов в решения.

Найдем какой-нибудь невычет по модулю 17:

.

Итак, N=3 – кв. невычет по модулю 17.

Имеются следующие кандидаты в решения сравнения:

1) x≡±8(mod 17) 5) x≡±3⁴8(mod p)

2) x≡±3·8(mod 17) 6) x≡±3⁵8(mod p)

3) x≡±3²8(mod 17) 7) x≡±3⁶8(mod p)

4) x≡±3³8(mod 17) 8) x≡±3⁷8(mod p)

Будем проверять каждую пару решений, пока не найдем верное решение.

1) x≡±8(mod 17). Тогда x²≡64≡13(mod 17).

2) x≡±3·8≡±24≡±7(mod 17). Тогда x²≡49≡15(mod 17).

3) x≡±3²8≡±72≡±4(mod 17). Тогда x²≡16(mod 17).

4) x≡±3³8≡±216≡±12(mod 17). Тогда x²≡144≡8(mod 17).

Ответ: x≡±12(mod 17), или x≡±5(mod 17).