Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Введение в математический анализ

1. Множества, способы их задания. Кванторы. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность), их свойства. Модуль числа, его свойства. Декартово произведение множеств. Грани множеств. Счетные и несчетные множества.

2.. Функции, способы их задания, классификация.

3. Окрестность точки. Предел последовательности. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства). Определение предела функции по Гейне.

4. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела.

5. Определение предела функции непрерывного аргумента по Коши при и .

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, взаимосвязь между ними. Свойства бесконечно малых функций.

7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции.

Теоремы о пределах (свойства пределов).

8. Теорема о промежуточной функции. Первый замечательный предел.

9. Второй замечательный предел, его обоснование, применение в финансовых вычислениях.

10. Сравнение бесконечно малых функций.

11. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.

12. Свойства непрерывных функций.

13. Точки разрыва функций.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

14. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

15. Взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции. Непосредственное нахождение производной.

16. Правила дифференцирования функций.

17. Вывод формул дифференцирования тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

18. Вывод формул дифференцирования логарифмической и показательной функций.

19. Вывод формул дифференцирования степенной и показательно-степенной функций. Таблица производных. Производные высших порядков.

20. Эластичность функции, её геометрический и экономический смысл, свойства. Примеры.

21. Дифференциал функции одной переменной. Определение, условия существования, геометрический смысл, свойства.

22. Применение дифференциала функции одной переменной для приближенных вычислений. Дифференциалы высших порядков.

23. Теорема Ролля, её геометрический смысл, примеры её использования.

24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, её геометрический смысл.

25. Теорема Коши о дифференцируемых функциях.

26. Правило Лопиталя, его использование для раскрытия неопределенностей при нахождении пределов.

27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано.

28. Формула Маклорена, её остаточный член. Разложение элементарных функций.

29. Формула Маклорена, её применение для нахождения пределов и вычисления значений функций.

30. Монотонные функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.

31. Локальный экстремум функции. Необходимый признак экстремума функции.

32. Первый и второй достаточные признаки экстремума функции.

33. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции.

34. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.

35. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

36. Функция нескольких переменных, ее определение, линии уровня и поверхности уровня.

37. Определение предела функции нескольких переменных по Коши. Свойства пределов.

38. Бесконечно малые функции. Определения непрерывности функции нескольких переменных. Точки и линии разрыва. Свойства непрерывных функций.

39. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Правило нахождения частных производных. Геометрический смысл частных производных.

40. Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Примеры взаимосвязи дифференцируемых и непрерывных функций.

41. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

42. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его определение.

43. Применение полного дифференциала функций нескольких переменных для приближенных вычислений.

44. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

45. Частные производные сложной функции нескольких переменных.

46. Частные производные функции нескольких переменных, заданной неявно.

47. Производная функции нескольких переменных по направлению.

48. Градиент функции нескольких переменных, его свойства.

49. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

50. Необходимый и достаточный признаки локального экстремума функции двух переменных.

51. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

52. Достаточный признак условного экстремума. Абсолютный экстремум функции нескольких переменных.

53. Метод наименьших квадратов.