семестр (МИИТ), ТКИ-111-2014, лектор Ряднов А.В

1. Матрицы. Линейные действия над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций. Единичная матрица и её свойства.

2. Что такое перестановка? Какие перестановки отрезка ряда чисел натурального ряда называются чётными какие нечётным? Доказать, что при транспозиции чётность перестановки меняется на противоположную, что число чётных перестановок равно числу нечётных.

3. Введите понятие определителя квадратной матрицы и установите его простейшие свойства.

4. Докажите теорему об определителе с нулевым углом. Определитель Вандермонда и его вычисление.

5. Дайте определение минора и алгебраического дополнения к элементу квадратной матрицы и установите связь между ними.

6. Докажите теорему о разложении определителя по строке (или столбцу) и теорему о

« фальшивом разложении».

7. Докажите теорему об определителе произведения двух квадратных матриц.

8. Обратная матрица и её свойства. Единственность обратной матрицы. Критерий существования обратной матрицы.

9. Установите равносильность обратимости и не вырожденности квадратной матрицы. Установите явный вид обратной матрицы. Докажите её единственность.

10. Обратная матрица и её свойства. Решение матричных уравнений AX=B и XA=B, где A – невырожденная квадратная матрица,с помощью обратной матрицы.

11. Обратная матрица и её свойства. Запись системы линейных уравнений в матричной форме и её решение с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными и с невырожденной матрицей системы.

12. Ранг матрицы и его свойства. Теорема о неизменности ранга матрицы при элементарных преобразованиях над строками и столбцами матрицы.

13. Элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Ранг ступенчатой матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

14. Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной матрице элементарными преобразованиями только над строками матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

15. Решение системы линейных уравнений общего вида методом Гаусса. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.

16. Решение системы линейных уравнений общего вида методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли (без вывода). Замечание о количестве решений системы линейных алгебраических уравнений.

17. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли. Условия единственности и не единственностирешений системы линейных алгебраических уравнений.

18.Понятие множества. Способы задания. Объединение, пересечение и дополнение множеств их свойства. Формулы де Моргана.

19. Отображение множеств. Какие отображения называются сюръективными, инъективными и биективными. Композиция отображений и её свойства. Обратное отображение и критерий его существования.

20. Какие множества называются равномощными? Какие множества имеют счётную мощность, а какие мощность континуум? Покажите, что множество рациональных чисел счётно. Покажите, что множество точек на отрезке несчётно.

21. Подстановка и её двухсторонняя запись. Введите - симметричную группу подстановок на множестве, состоящем из n элементов. Каков её порядок? Какие подстановки называются чётными и какие нечётными?

22. Докажите, что при транспозиции чётность подстановки меняется на противоположную. Что такое ? Докажите, что есть подгруппа в . Каков её порядок?

23. Бинарные отношения и их свойства. Отношение эквивалентности. Какая существует связь между отношением эквивалентности и разбиением множества на классы (непересекающихся эквивалентных подмножеств). Приведите примеры. Факторизация множеств. Что такое естественное отображение ( или каноническая проекция) множества на фактормножество . Разложение любого отображения в произведение сюрьективного отображения и инъективного отображения .

24. Сравнение целых чисел по данному модулю. Разбиение множества целых чисел на классы вычетов по данному модулю. Сложение и умножение классов вычетов по данному модулю.

25. Бинарная алгебраическая операция. Свойства бинарных операций. Алгебраическая структура. Полугруппа. Моноид. Группа. Аддитивная и мультипликативная запись операций в группе. Выведите простейшие свойства из определения группы. Абелева группа. Приведите примеры.

26. Подгруппы. Выведите правила действия со степенями элемента группы. Что такое циклическая подгруппа? Опишите все циклические группы. Теоремы о подгруппах.

27. Дайте определение изоморфизма групп, выведите из него простейшие следствия. Приведите примеры изоморфных групп.

28. Дайте определение гомоморфизма групп, выведите из него простейшие следствия. Что такое ядро и образ гомоморфизма? Приведите примеры.

29. Что такое нормальный делитель в группе? Установите равносильность нескольких определений. Приведите примеры.

30. Левые и правые смежные классы по подгруппе группы. Докажите теорему Лагранжа и выведите простейшие следствия из неё. Постройте фактор-группу группы по некоторому её нормальному делителю. Приведите примеры.

31. Что такое естественный эпиморфизм группы на её фактор-группу. Докажите, что нормальные делители и только они служат ядрами гомоморфизмов.