ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК
Основные формулы ЗАКОН КУЛОНА. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ · Закон Кулона , где F — сила взаимодействия двухточечных зарядов Q1и Q2; r — расстояние между зарядами; e — диэлектрическая проницаемость среды; e0 — электрическая постоянная: . Закон сохранения заряда , где — алгебраическаясумма зарядов,входящихв изолированную систему; n — число зарядов. · Напряженность электрического поля , где — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля. · Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электрическое поле . · Поток вектора напряженности электрического поля: а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле, или , где a — угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности; — площадь элемента поверхности; En — проекция вектора напряженности на нормаль; б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле ФE=ЕScosa. · Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность , где интегрирование ведется по всей поверхности. · Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Ql, Q2, . . ., Qn , где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п — число зарядов. · Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда . Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы: а) внутри сферы (r<R) E=0; б) на поверхности сферы (r=R) ; в) вне сферы (r>R) . · Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей: . В случае двух электрических полей с напряженностями и модуль вектора напряженности , где a — угол между векторами и . · Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) нарасстоянии r от ее оси , где t — линейная плотность заряда. Линейная плотность заряда распределенного по нити (цилиндру) есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу ее длины: · Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, где s — поверхностная плотность заряда. Поверхностная плотность заряда распределенного по поверхности есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу этой поверхности: . · Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора) . Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора. · Электрическое смещение связано с напряженностью электрического поля соотношением . Это соотношение справедливо только дляизотропных диэлектриков. · Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру , где El – проекция вектора напряженности в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке. В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю: .
ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА В ПОЛЕ · Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду j = /Q, или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду: j =A/Q. Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю. Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа Aв.с внешних сил равна по модулю работе Aс.п сил поля и противоположна ей по знаку: Aв.с= – Aс.п. · Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда, . · Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы: внутри сферы (r<R) ; на поверхности сферы (r=R) ; вне сферы (r>R) . Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах e есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу. · Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраическойсуммепотенциалов j1, j2, ... , jn, создаваемых отдельными точечными зарядами Q1, Q2, ..., Qn: . · Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, ..., Qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удаленииих относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой , где — потенциал поля, создаваемого всеми п–1 зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд Qi. · Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением . В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой , или в скалярной форме , а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению , где j1 и j2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии. · Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал j1, в другую, имеющую потенциал j2 A=Q(j1 – j2), или где El — проекция вектора напряженности на направление перемещения; dl — перемещение. В случае однородного поля последняя формула принимает вид A=QElcosa, где l — перемещение; a — угол между направлениями вектора и перемещения . • Диполь есть система двух точечных электрических зарядов равных по размеру и противоположных по знаку, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния r от центра диполя до точек наблюдения. Вектор проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду, называется плечом диполя. Произведение заряда |Q| диполя на его плечо называется электрическим моментом диполя: . · Напряженность поля диполя или , где р - электрический момент диполя; r - модуль радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; α- угол между радиусом-вектором и плечом диполя. · Потенциал поля диполя или · Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью или M=pE sin , где α- угол между направлениями векторов и . В неоднородном электрическом поле кроме механического момента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего симметрией относительно оси х,сила выражается соотношением
где - частная производная напряженности поля, характеризующая степень неоднородности поля в направлении оси х. При сила Fхположительна. Это значит, что под действием ее диполь втягивается в область сильного поля. • Потенциальная энергия диполя в электрическом поле
ЭЛEКTPИЧECКAЯ EMКOCTЬ. КOHДEHCATOPЫ · Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора C=ΔQ/Δφ, где ΔQ - заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Δφ - изменение потенциала, вызванное этим зарядом. · Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется. · Электрическая емкость плоского конденсатора , где S - площадь пластин (каждой пластины); d - расстояние между ними; ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами. Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектрика толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями , (слоистый конденсатор)
· Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε) · Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R1и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε)
· Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов: в общем случае где п - число конденсаторов; в случае двух конденсаторов в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый C=C1/n. · Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов: в общем случае C=C1+C2+...+Cn; в случае двух конденсаторов C=C1+C2; в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый C=nC1.
ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПPOBOДHИКA. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ · Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, потенциал φ и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями: . · Энергия заряженного конденсатора где С- электрическая емкость конденсатора; U - разность потенциалов на его пластинах. · Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема)
где Е - напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε; D - электрическое смещение.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА · Сила постоянного тока I=Q/t, где Q - количество электричества, прошедшее сечение проводника за время t. · Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения проводника: где - единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением движения положительных носителей заряда. · Сопротивление однородного проводника R=ρl/S, где ρ - удельное сопротивление вещества проводника; l - его длина. · Проводимость G проводника и удельная проводимость γ вещества G=1/R, γ=l/ρ. · Зависимость удельного сопротивления от температуры ρ=ρ0(1+αt), где ρ и ρ0 - удельные сопротивления соответственно при t и 0 ˚С; t -температура (по шкале Цельсия); α – температурный коэффициент сопротивления. · Сопротивление соединения проводников: последовательного параллельного Здесь Ri - сопротивление i-гопроводника; п - число проводников. · Закон Ома: для неоднородного участка цепи для однородного участка цепи ; для замкнутой цепи . Здесь (φ1 – φ2) - разность потенциалов на концах участка цепи; ε12 - ЭДС источников тока, входящих в участок; U - напряжение на участке цепи; R - сопротивление цепи (участка цепи); ε - ЭДС всех источников тока цепи. · Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. где n - число токов, сходящихся в узле. Второе правило:в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т.е. где Ii - сила тока на i-мучастке; Ri - активное сопротивление на i-мучастке; εi- ЭДС источников тока на i-мучастке; п - число участков, содержащих активное сопротивление; k- число участков, содержащих источники тока. · Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами в участке цепи постоянного тока за время t A=IUt. · Мощность тока P=IU. · Закон Джоуля - Ленца Q=I2Rt, где Q - количество теплоты, выделяющееся в участке цепи при протекании постоянного тока за время t. В случае переменного тока количество теплоты, выделяющееся за малое время , где – мгновенная сила тока. Закон Джоуля - Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения. Примеры решения задач
Пример 1. Три одинаковых положительных заряда Q1=Q2=Q3=1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (рис. 23). Какой отрицательный заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах? Решение. Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например Q1, находился в равновесии. В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд Q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю: , (1) где — силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q1 заряды Q2, Q3 и Q4; — равнодействующая сил . Так как силы и направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой: F – F4=0, или F4=F. Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3=F2, получим . Применяя закон Кулона и имея в виду, что Q2=Q3=Q1, найдем , откуда . (2) Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что . С учетом этого формула (2) примет вид . Подставив сюда значение Q1, получим Q4=0,58 нКл. Отметим, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Пример 2. Два заряда 9Q и -Q закреплены на расстоянии l=50 см друг от друга. Третий заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым? Равновесие называется устойчивым, если при малом смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Решение. Заряд Q1 будет находиться в равновесии в том случае, если векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд Q1 должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 24) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Q1 —положительный. На участке I (рис. 24, а) на заряд Q1 действуют две противоположно направленные силы: и . Сила , действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила , действующая со стороны заряда -Q, так как больший (по модулю) заряд 9Q всегда находится ближе к заряду Q1, чем меньший заряд -Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно. На участке II (рис. 24, б) обе силы и направлены в одну сторону — к заряду -Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно. На участке III (рис. 24, в) силы и направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (– Q) всегда находится ближе к заряду Q1, чем больший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т. е. .(1) Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Q1 равнох, тогда расстояние от большего заряда будет (l+х). Выражая в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим . Сокращая на QQ1 и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, найдем l+x=±3x, откуда x1=+l/2 и x2=-l/4. Кореньx2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F1 и F2 хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону). Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Рассмотрим смещение заряда Q1 в двух случаях: 1) заряд положителен;2) заряд отрицателен. 1. Если заряд Q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2 возрастают, но F1 возрастает медленнее (заряд 9Q всегда находится дальше, чем –Q). Следовательно, F2 (по модулю) больше, чем F1, и на заряд Q1 будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд Q1 удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q1 вправо. Сила F2 убывает быстрее, чем F1. Векторная сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым. 2. Если заряд Q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F2 и F1, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т.е. |F2|>|F1|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд Q1 возвращается к положению равновесия. При смещении Q1 вправо сила F2 убывает быстрее, чем F1, т. е. |F1|>|F2|. результирующая сила направлена влево и заряд Q1 опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q1 несущественна. Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды –Q и 9Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равновесия не будет. В системе зарядов, находящихся под действием одних только электростатических сил, устойчивое равновесие невозможно (теорема Ирншоу).
Пример 3. Тонкий стержень длиной l=30 см (рис. 25) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью t =1 мкКл/м. На расстоянии r0=20 см от стержня находится заряд Q1=10 нКл, равноудаленный от концов, стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем. Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня. Однако если выделить на стержне дифференциально малый участок длиной dl, то находящийся на нем заряд dQ=t·dl можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q1 и dQ: , (1) где r — расстояние от выделенного элемента до заряда Q1. Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что заряды находятся в вакууме (e=1). Из чертежа (рис. 25) следует, что и , где r0 — расстояние от заряда Q1 до стержня. Подставив эти выражения в формулу (1), получим . (2) Следует иметь в виду, что — вектор, поэтому, преждечеминтегрировать разложим его на две составляющие: , перпендикулярную стержню, и , параллельную ему. Из рис. 25 видно, что dF1=dFcosa, dF2=dFsina. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем: . Интегрируя эти выражения в пределах от –b до +b, получим В силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня интегрирования второго выражения дает нуль Таким образом, сила, действующая на заряд Q1 . (3) Из рис. 25 следует, что . Подставив это выражение sinb в формулу (3), получим . (4) Произведем вычисления по формуле (4): Пример 4. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q1=30 нКл и Q2= –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1=15 см от первого и на расстоянии r2=10 см от второго зарядов. Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны (1) Вектор (рис. 26) направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд Q1>0; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как Q2<0. Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов: , (2) где угол a может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d: . В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosa. По этой формуле найдем cosa =0,25. Подставляя выражения E1 и E2 а по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4pe0) за знак корня, получаем . Подставив значения величин p, e0, Q1, Q2, r1, r2 и cosa в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем
Пример 5. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда s1=0,4 мкКл/м2 и s2=0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями. Решение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости (рис. 27). Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно равны: ; . Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Е(I) и E(III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е(I)= E(III)=E1+E2, или Е(I)= E(III)= . Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E(II)=|E1-E2|,или . Подставив данные и произведя вычисления, получим E(I)=E(III)=28,3 кВ/м; E(II) =17 кВ/м. Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 28. Пример 6. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q=10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2 Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным. Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 29) F=E1Q (1) где E1 — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но где s – поверхностная плотность заряда пластины. Формула (1) с учетом выражения для E1 примет вид . Подставив значения величин Q, и S в эту формулу и произведя вычисления, получим F=565 мкН.
Пример 7. Электрическое поле создано, бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью s =400 нКл/м2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью t =100 нКл/м. На расстоянии r =10 см от нити находится точечный заряд Q =10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости. Решение. Сила, действующая на заряд, помещённый в поле, F=EQ, (1) где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q. Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечн
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (836)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |