Оценка тесноты связи: коэффициент корреляции, индекс корреляции, коэффициенты эластичности и детерминации
Наряду с построением уравнения регрессии осуществляется оценка тесноты связи между явлениями (между переменными). Тесноту связи в случае линейной зависимости характеризуют с помощью выборочного коэффициента корреляции rxy rxy - коэффициент парной корреляции (-1£ rxy£1) Выборочный коэффициент корреляции rxy связан с коэффициентом линейной регрессии b соотношением Чем ближе величина rxy к единице, тем теснее линейная связь и тем лучше линейная зависимость согласуется с данными наблюдений. При rxy = 1 связь становится функциональной, т. е. соотношение выполняется для всех наблюдений. При rxy > 0 связь является прямой, при rxy < 0 – обратной. Уравнение нелинейной регрессии, также как и в линейной зависимости дополняется показателем тесноты связи между переменными , а именно индексом корреляцииR . Величина данного показателя находится в границах ; чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии. В экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель, как коэффициент эластичности, в частности, средний коэффициент эластичности. Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности значений фактора х изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1%: Для линейной функции: Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения регрессии статистическим данным) является коэффициент детерминации R2. В случае парной регрессии коэффициент детерминации будет совпадать с квадратом коэффициента корреляции: . В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле: (3.12) Поясним смысл коэффициента детерминации. Пусть эмпирическое уравнение регрессии имеет вид: Тогда наблюдаемые (реальные) значения уi, i = 1, 2, … , n, отличаются от модельных yi на величину ei: Последнее соотношение можно переписать в следующем виде: (*) где − отклонение i-й (наблюдаемой) точки от среднего значения зависимой переменной Y; − отклонение i-й точки на линии регрессии от ; − отклонение i-й точки от модельного значения , определяемого по линии регрессии. Все отклонения рассчитываются по оси зависимой переменной (см. рис. 3.3). Рис.3.3. Возведем обе части равенства (*) в квадрат и просуммируем полученные значения по объему выборки n: Можно показать, что (доказательство опускаем для упражнения). Тогда справедливо следующее соотношение: (3.13) Очевидно, что − общая (полная) сумма квадратов (может интерпретироваться как мера общего разброса (рассеивания) переменной Y относительно ). (TSS) − объясненная сумма квадратов, интерпретируемая как мера разброса, объяснимого с помощью регрессии. (ESS) − остаточная (необъясненная) сумма квадратов, являющаяся мерой остаточного, необъясненного уравнением регрессии разброса (разброса точек вокруг линии регрессии). (RSS) Разделив (3.13) на левую его часть, получим: . Вводя обозначение , получаем соотношение (3.12). При этом очевидно, что коэффициент детерминации R2 определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую регрессией Y на X. определяет долю разброса зависимой переменной, необъясненную регрессией Y на X. Из проведенных рассуждений следует, что в общем случае справедливо соотношение 0 ≤ R2≤ 1. Коэффициент детерминации R2 является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной Y, чем горизонтальная прямая Y = . Следовательно, чем теснее линейная связь между Х и Y, тем ближе коэффициент детерминации R2 к единице. Чем слабее такая связь, тем R2 ближе к нулю.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3290)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |