Свойства определителей

ЛЕКЦИЯ 12

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

 

Определители

 

Рассмотрим множество, состоящее из натуральных чисел . Будем обозначать перестановки этих чисел (то есть последовательную их запись в некотором порядке без повторений) как . Напомним, что полное число таких различных перестановок равно n!.

 

Определение. Будем говорить, что числа и образуют в перестановке беспорядок (нарушение порядка, или инверсию), если при имеет место .

Полное число беспорядков в перестановке будем обозначать . Например, .

 

Пусть дана квадратная матрица

 

 

Определение. Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы размера называется число , получаемое по формуле

 

,

 

где – всевозможные различные перестановки, образованные из номеров столбцов матрицы .

 

Замечание. Поскольку в данном определении указано, что сумма берется по всем возможным различным перестановкам, то число слагаемых равно n!.

 

Замечание. Из определения детерминанта вытекает, что каждое слагаемое содержит в качестве сомножителя по одному элементу матрицы из каждого столбца и каждой строки.

 

 

Свойства определителей

Теорема 12.1 При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

 

Доказательство.

 

Общий вид слагаемого в формуле определителя транспонированной матрицы

 

Будет

 

 

но, учитывая, что , получим

 

.

 

Упорядочим сомножители каждого слагаемого по номерам строк, то есть приведем их к виду

 

,

 

где – номера строк, а – номера соответствующих столбцов. Отметим, что для введенных обозначений имеет место очевидное равенство: и при выполненном изменении порядка сомножителей для каждого слагаемого в формуле определителя будет иметь место равенство

 

.

 

Действительно, пусть и дают беспорядок, то есть при , тогда дают беспорядок и числа и , поскольку , и, значит, будет справедливо неравенство при .

Верно и обратное утверждение.

 

Окончательно получаем

 

.

 

Теорема доказана.

 

Следствие. Всякое свойство определителя матрицы, сформулированное для ее столбцов, справедливо для ее строк, и наоборот.

 

Теорема 12.2 При перестановке двух столбцов матрицы знак ее определителя меняется на противоположный.

 

Доказательство.

 

Рассмотрим вначале случай, когда переставляются соседние столбцы. Поскольку общий вид слагаемых в выражении для определителя дается формулой

 

,

 

то достаточно показать, что число беспорядков изменится при перестановке соседних столбцов на единицу.

Рассмотрим перестановку чисел

 

.

 

Если в ней поменять местами числа k_i и k_i+1, то число беспорядков, образуемых числами , останется прежним, а за счет изменения порядка следования чисел и общее число беспорядков изменится на единицу. Это означает, что знак каждого слагаемого в формуле определителя изменится на противоположный и, следовательно, изменит знак и весь определитель.

 

Наконец, если требуется поменять местами столбцы, между которыми находится l столбцов, то для этого потребуется l+l+1 перестановок соседних столбцов, но поскольку , то знак определителя изменится на противоположный.

 

Теорема доказана.

 

Следствие. Определитель матрицы, содержащей два одинаковых столбца, равен нулю.

 

Доказательство.

 

При перестановке одинаковых столбцов значение определителя, с одной стороны, не меняется, но, с другой стороны, это значение должно изменить знак. Поэтому данный определитель может равняться только нулю.

 

Следствие доказано.

 

Теорема 12.3 (линейное свойство определителя)Если k-й столбец матрицы задан в виде линейной комбинации столбцов, то ее определитель представим в виде линейной комбинации определителей матриц, k-ми столбцами которых являются соответствующие столбцы линейной комбинации.

 

Следствие. При вычислении определителя из столбца матрицы можно выносить общий множитель.

 

Следствие. Если к некоторому столбцу матрицы прибавить линейную комбинацию остальных ее столбцов, то определитель не изменится.