Доказать, что если биссектрисы треугольника разбивают его на шесть равных по площади треугольников, то данный треугольник – правильный. (http://www.tutoronline.ru)

МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ ПРОТИВНОГО

Суть этого метода заключается в следующем:
1. Вначале делается предположение, противоположное тому, что требуется доказать.
2. Затем выясняется, что следует из сделанного предположения на основании уже преобретенных теоретических знаний (теорем, аксиом и т.д.) .
3. Устанавливается несоответствие (противоречие) предположения с теоретическими данными (теорем, аксиом и т.д.) или условием задач.
4. Делается вывод о том, что наше предположение не верно, а верно утверждение ему противоположное т.е. то, что требуется доказать.

Ключевые задачи:

Задача 1.

Доказать, что если биссектрисы треугольника разбивают его на шесть равных по площади треугольников, то данный треугольник – правильный.

Задача 2.

Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

Задача 3.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Элементарные задачи:

Задача 4.

Прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.Доказать, что а ll b.

Задача 5.

Прямые а и b – параллельные, прямые а и с пересекаются. Докажите, что прямые b и с пересекаются.

Задачи для самостоятельной работы:

Задача 6.

A, В, С — точки прямой а, АВ = 5 см, АС = 2 см, ВС = 7 см. Докажите, что точка С не лежит между точками А и В.

Задача 7.

Прямая а перпендикулярна отрезку АВ и пересекает данный отрезок в его середине. Докажите, что каждая точка, равноудаленная от точек A и B лежит на прямой а.

Задача 8.

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O , причём AO=CO . Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если AM=CN.

Задача 9.

Доказать, что выпуклый четырехугольник с разными углами должен иметь хотя бы один тупой угол.

Задача 10.

Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру примыкает тупой угол на одной из граней.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАДАЧ

Задача 1.

Доказать, что если биссектрисы треугольника разбивают его на шесть равных по площади треугольников, то данный треугольник – правильный. (http://www.tutoronline.ru)

Доказательство.

1) Очевидно, что треугольник правильный, если его биссектрисы одновременно являются и его медианами.

2) Биссектриса, проходящая через точку пересечения медиан, является и медианой треугольника.

Вывод: надо доказать, что если три прямых, проходящих через вершины треугольника, пересекаются в одной его внутренней точке М и разбивают треугольник на шесть равных по площади, то М – точка пересечения медиан.

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1), где АА₁, ВВ₁, СС₁ – медианы, а М₀ – точка их пересечения.

.

Шесть полученных треугольников с вершиной М₀ имеют одинаковую площадь, поэтому треугольники АВМ₀, ВСМ₀ и АСМ₀ так же имеют одинаковую площадь.

Теперь используем метод «от противного».

Пусть точка М не совпадает с точкой М₀. Рассмотрим треугольники АВМ, АСМ и ВСМ. Из условия вытекает, что площади этих треугольников равны (площадь каждого равна 1/3 площади DАВС). Точка М должна попасть внутрь или на сторону одного из треугольников АВМ₀, АСМ₀ или ВСМ₀ (предположим, что внутрь треугольника АВМ₀).

Очевидно, что S_DАВМ < S_DАВМ0 = 1/3 · S_DАВС.

Итак, получено противоречие, т.к. с одной стороны, S_DАВМ = 1/3 · S_DАВС, а с другой – она меньше.

Из этого следует, что предположение о том, что М не совпадает с М₀ ошибочно, поэтому имеем, что М₀ = М.

Таким образом, доказано, что биссектрисы проходят через точку пересечения медиан, то есть биссектрисы являются медианами, а это верно только для правильных треугольников.

Задача 2.

Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

(www.ref.by.)

 

Решение.

Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть (например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n-угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее.

1) Пусть найдется выпуклый многоугольник с большим числом углов,

например, с четырьмя.

2) В этом случае сумма четырех острых углов будет меньше, чем 90°•4 или 180°•2. Сумма же остальных n – 4 углов будет меньше, чем 180°•(n – 4). Тогда сумма всех углов n-угольника меньше, чем 180°•2 + 180°•(n – 4) = 180°•(n – 2), а это невозможно для выпуклого n-угольника (сумма его углов равна 180°•(n – 2)).

3) Полученное противоречие кроется в исходном предположении.

4) Наше предположение относительно существования четырех (а как показывает анализ рассуждений и большего количества) острых углов неверно. Следовательно, максимальное количество острых углов выпуклого n- угольника – три.

Доказательство выдвинутой гипотезы завершает решение задачи.

Задача 3.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. (www.webmath.exponenta.ru)

Доказательство.

Пусть (AB) || (CD). Предположим, что ACD ≠ BAC. Через точку A проведем прямую AE так, что EAC = ACD. Но тогда по теореме «Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.» (AE) || (CD), а по условию – (AB) || (CD). В соответствии с теоремой «Две прямые, параллельные третьей, параллельны.» (AE) || (AB). Это противоречит теореме, по которой через точку A, не лежащую на прямой CD, можно провести единственную прямую, параллельную ей. Теорема доказана.

Задача 4.

Прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.Доказать, что а ll b. (Доказательство от противного. Лещенко В. Ю.)

Доказательство.

Возможны только два случая:

1) прямые а и b параллельны;

2) прямые а и b не параллельны.

Если удастся исключить нежелательный случай, то останется сделать вывод, что имеет место второй из двух возможных. Чтобы отбросить нежелательный случай, давайте подумаем, что произойдёт, если прямые а и b пересекаются:

По условию любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b. Поэтому, если удастся найти хотя бы одну прямую, которая пересекает а, но не пересекает b, этот случай надо будет отбросить. Таких прямых можно найти сколько угодно: достаточно провести через любую точку К прямой а, кроме точки М прямую КС, параллельную b:

Поскольку отброшен один из двух возможных случаев, можно сразу сделать вывод, что а ll b.

Задача 5.

Прямые а и b – параллельные, прямые а и с пересекаются. Докажите, что прямые b и с пересекаются.

Доказательство.

1) Предположим, что b||с.

2) Тогда получается, что через точку О (точка пересечения прямых а и с) проходят две различные прямые а и b, которые параллельны прямой b.

3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых.

Вывод: значит, наше предположение неверно, а верно то, что и требовалось доказать, т. е. что прямые b и с пересекаются.

Задача 6.

A, В, С — точки прямой а, АВ = 5 см, АС = 2 см, ВС = 7 см. Докажите, что точка С не лежит между точками А и В. (Доказательство от противного. Ващенко В. Н.)

Доказательство.

1) Предположим, что точка С лежит между точками А и В.

2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ = АС + СВА

3) Это противоречит условию: АВ = АС + СВ, так как АВ = 5 см, АС+ С5 = 9 см.
Вывод: точка С не лежит между точками А и В.

Задача7.

Прямая а перпендикулярна отрезку АВ и пересекает данный отрезок в его середине. Докажите, что каждая точка, равноудаленная от точек A и B лежит на прямой а. (Геометрическое место точек. Ипатова Я. Г. )

Доказательство.

Предполагаем, что существует такая точка D, что AD=DB, построим прямую DO и соединим D и O.

Рассмотрим ∆ADB, он равнобедренный по определению, т.к. AD=DB. DO-медиана равнобедренного треугольника, тогда DO- высота (по теореме о медиане равнобедренного треугольника), тогда DO ┴ AB, a┴ AB, через точку О можно провести только одну прямую перпендикулярную отрезку AB. Значит наше предположение о том, что точка D принадлежит другой прямой, а не прямой a - ложно.

Задача 8.

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O , причём AO=CO . Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если AM=CN.( http://collection.edu.yar.ru)

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC , в котором

ABC=60^o, BAC = 45^o, ACB = 75^o.

Отметим на серединном перпендикуляре к стороне AC точку O , для которой OAC = OCA = 30^o (рис.). Пусть луч AO пересекает сторону BC в точке N , а луч CO пересекает сторону AB в точке M . Тогда

ANC = 75^o, OMA = 105^o.

При симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне AC точка M переходит в точку M" , лежащую на отрезке ON . При этом

OM"C = OMA = 105^o, CM"N = 180^o - OM"C = 180^o - 105^o = 75^o = CNM".

Значит, треугольник CNM" – равнобедренный. Следовательно,

CN = CM"=AM.

Таким образом, неравнобедренный треугольник ABC удовлетворяет условию AM=CN.

Задача 9.

Доказать, что выпуклый четырехугольник с разными углами должен иметь хотя бы один тупой угол. (Геометрические задачи на доказательство. Дубина С. В.)

Решение:

Допустим, что выпуклый четырехугольник с неравными углами не имеет тупых углов, тогда все внешние углы его тупые и сумма их больше 360⁰, что противоречит теореме о сумме углов выпуклого многоугольника. Значит, предположение неверно, и четырехугольник имеет хотя бы один тупой угол.

Задача 10.

Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру примыкает тупой угол на одной из граней.(Идеи и методы решения задач. Софут В. А.)

Решение.

Допустим, что такая пирамида существует. Поскольку в треугольнике против тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся более длинное ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды конечно. Противоречие.

Замечание. Вместе с рассуждением от противного мы использовали «Правило крайнего».