Основы теории деформированного состояния. Тензор деформаций

Тема 5. Основы теории деформированного состояния. Объемная деформация. Обобщенный закон Гука

Основы теории деформированного состояния. Тензор деформаций

При деформации тела его точки перемещаются, при этом изменяются расстоянии между точками и углы между отрезками, соединяющими эти точки. Выделим в окрестности произвольной точки тела прямоугольный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz. После деформации длины его сторон могут измениться на некоторую величину, например, Δdx (рис. 5.1). При этом изменение длин ребер характеризуется относительными линейными деформациями . Поменяются и углы между сторонами параллелограмма , , (например, в плоскости Oxy это угол сдвига ).

 

Рис.5.1. К нахождению составляющих тензора деформации

 

Следовательно, деформированное состояние в точке тела характеризуется совокупностью относительных линейных и угловых сдвиговых деформаций , , по всем декартовым направлениям Оx,Оy,Оz и соответствующим им плоскостям, проходящим через данную точку тела.

Как и в случае напряженного состояния в рассматриваемой точке, три линейных и шесть угловых деформаций образуют тензор деформаций

 

. (5.1)

 

Тензор (5.1) полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений, так как строится в рамках закона взаимно однозначного соответствия между напряжениями и деформациями, т. е. в рамках закона Гука. Кроме того, среди множества осей, проходящих через данную точку, всегда существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Такие оси называются главными осями деформированного состояния, а относительные линейные деформации в этой системе координат называются главными деформациями и обозначаются , причем . Отметим также, что сумма линейных деформаций на трех взаимно перпендикулярных площадках не изменяется при произвольном повороте рассматриваемого параллелепипеда

Введем понятие объемной деформации. Под объемной деформацией будем понимать относительное изменение объема, например, выделенного параллелепипеда, при деформации тела. До деформации длина ребер параллелепипеда равна dx, dy, dz,а его объем dV₀=dxdydz. После нагружения длины ребер изменились и стали равны dx+Δdx, dy+Δdy, dz+Δdz. Тогда, можно вычислить объем после деформации:

 

 

В полученном выражении пренебрегаем величинами второго порядка малости (произведениями вида и т.д.). Следовательно, относительное изменение объема при деформации тела определится следующим образом:

 

(5.2)

 

5.2. Обобщенный закон Гука для изотропных тел

Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями (обобщенный закон Гука).

Одноосное напряженное состояние. Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 5.2).

 

Рис. 5.2. Одноосное напряженное состояние

 

Тензор напряжений в этом случае будет иметь вид

 

. (5.3)

 

При таком нагружении справедливо соотношение (тема растяжение - сжатие)

, (5.4)

где Е — модуль упругости I- рода .

Известно, что при продольной деформации элемента конструкции происходит и его поперечная деформация. Следовательно, по направлениям 2 и 3 (если оси выбранной системы координат - главные) относительные деформации, определяемые напряжениями , равны и , причем они будут отрицательны при >0, т.е.

, , (5.5)

где μ - коэффициент Пуассона.

 

Трехосное напряженное состояние. При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям (рис. 5.3), когда отсутствуют касательные напряжения (главные площадки), тензор напряжений будет иметь вид:

 

. (5.6)

 

 

Рис. 5.3. Трехосное напряженное состояние. Главные площадки

 

 

Используя принцип суперпозиции, можно записать

 

,

 

, (5.7)

 

.

 

Используя соотношения типа (5.4), (5.5), зависимости (5.7) примут вид

 

,

, (5.8)

.

Соотношения (5.8) справедливы для главных направлений (главных площадок). Доказано, что они справедливы и для любых других трех взаимно перпендикулярных направлений (5.9).

,

, (5.9)

.

Это и понятно, так как при малых деформациях сдвиг, вызываемый касательными напряжениями, практически не влияет на изменение длины отрезков. Теперь, если сложить левые и правые части выражений (5.9), то получим (с учетом выражения (5.2))

. (5.10)

Из соотношения (5.10) можно получить один интересный частный результат. Пусть нагружение элемента конструкции таково (объемное гидростатическое давление), что справедливо соотношение Тогда из (5.10) получим

Очевидно, что при положительном значении р (объемное растяжение) объем должен возрастать, а при отрицательном р – уменьшаться. Данное условие выполняется только при . Отсюда следует важный вывод: для изотропного материала коэффициент Пуассона не может превышать значения 0,5 (для основных конструкционных материалов он находится в пределах 0,28…0,33).

Угловая деформация (деформация сдвига) обусловлена касательным напряжением. Так, например, деформации , определяются касательными напряжениями, соответственно , .

По аналогии с нормальными напряжениями можно предположить, что касательные напряжения и угловые деформации для линейно-упругого изотропного тела линейно зависимы с некоторым коэффициентом пропорциональности G

 

, (5.11)

 

где G — модуль сдвига (модуль упругости II - рода).

Между модулями E и G для изотропных материалов существует связь

.

 

Рассмотренные совместно соотношения (5.9) – (5.11) выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела.

 

5.3. Потенциальная энергия упругой деформации

Рассмотрим порядок определения потенциальной энергии деформации в случае объемного напряженного состояния. Выделим в окрестности произвольной точки тела прямоугольный параллелепипед и будем считать, что потенциальная энергия деформации равна сумме работ всех сил, распределенных по поверхности параллелепипеда. Напряженное состояние будем рассматривать для главных осей, при этом общее напряженное состояние разделим на два (рис. 5.4), причем

 

Рис. 5.4. К определению потенциальной энергии деформации

 

При рассмотрении растяжения – сжатия для удельной потенциальной энергии деформации при одноосном напряженном состоянии было получено следующее выражение

Используя принцип суперпозиции для общего случая нагружения (рис. 5.4, I) имеем:

(5.12)

Подставляя в формулу (5.12) выражения для относительных линейных деформаций из обобщенного закона Гука (5.8), получим

. (5.13)

В напряженном состоянии II (рис. 5.4), как было отмечено ранее, изменения углов между гранями для изотропного материала не происходит, т.е. потенциальная энергия деформации накапливается только за счет изменения объема элементарного параллелепипеда. Напротив, в напряженном состоянии III изменяется только форма при постоянном объеме. С самом деле, относительное изменение объема для состояния III по формуле (5.10) равно нулю (учитывая формулу для ):

Выражение для удельной потенциальной энергии деформации, накопленной только за счет изменения объема (напряженное состояние II) получаем, подставляя в формулу (5.13) значения Тогда получим

(5.14)

Вычитая из формулы (5.13) выражение для потенциальной энергии при объемной деформации (5.14), можно получить удельную потенциальную энергию, накопленную за счет изменения формы (энергия формообразования):

 

(5.15)

 

Для трех произвольно ориентированных и взаимно перпендикулярных площадок, где кроме нормальных действуют также касательные напряжения, можно получить:

 

. (5.16)