Лекция №3. Тема: «Дифференциальное уравнение равновесия жидкости Эйлера. Дифференциальное уравнение поверхности равного давления»

Выделим вокруг точки А, находящейся внутри покоящейся жидкости, элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами , параллельными произвольно выбранным в пространстве осям координат рис.3.1.

Рисунок 3.1 Схема к выводу уравнений равновесия жидкости

Отбросим мысленно окружающую параллелепипед жидкость, заменив ее действие на грани соответствующими силами гидростатического давления. Пусть давление жидкости в точке А равно Р, тогда давление на грани будет: на левую на правую где - приращение давления вдоль оси ОХ на растоянии .

Элементарные силы давления на грани будут соответственно равны:

и .

Аналогичным образом можно найти элементарные силы, действующие на остальные четыре грани (на рисунке показаны только давления, действующие вдоль оси ОХ).

Кроме поверхностных сил на выделенный объем действуют также массовые силы, результирующая которых в общем случае будет

.

Спроектируем все действующие на элементарный объем силы на ось ОХ и приравняем сумму этих проекций нулю:

или, после приведения подобных членов и сокращения оставшихся слагаемых на , получим . Спроектировав остальные силы на оси и и сделав аналогичные преобразования, получим систему уравнений:

, (3.1)

из которых видно, что приращение гидростатического давления в направлении какой-либо координатной оси возможно только при наличии ускорения в этом направлении и происходит за счет массовых сил.

Эти уравнения представляют собой общие условия равновесия жидкости в дифференциальной форме, выведенный в 1755г. Л.Эйлером.

Для приведения уравнений Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножим каждое из уравнений (3.1) соответственно на и сложим почленно:

.

В этом уравнении левая часть представляет собой полный дифференциал давления , поэтому

(3.2)

Полученное уравнение выражает функциональную зависимость от рода жидкости и координат точки в пространстве и позволяет определить значение давления в любой точке жидкости, находящейся в равновесии. Это уравнение справедливо для капельных жидкостей и для газов, причем для газов дополнительным условием равновесия является уравнение состояния.

Из выражения (3.2) можно легко получить уравнение поверхности равного давления – поверхности, давление во всех точках которой одинаково ( ).

При а так как не может быть равно нулю следовательно,

. (3.3)

Уравнение (3.3) – уравнение поверхности равного давления, частным случаем которой является своюодная поверхность жидкости.

Литература: 1 осн. [29-33]; 3осн.[63-71]; 4осн.[16-19].

Контрольные вопросы

1. От чего зависит приращение гидростатического давления в направлении какой-либо координатной оси?

2. Что выражает дифференциальное уравнение равновесия жидкости?

3. Что такое поверхность равного давления?