Логические операции над высказываниями

Понятие высказывания

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие простого высказывания..

Определение.Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем- либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются истина и .ложь.

Приведем примеры высказываний.

1) Новгород стоит на Волхове.

2) Париж - столица Англии.

3) Карась не рыба.

4) Число 6 делится на 2 и на 3.

5) Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.

Высказывания 1), 4), 5) истинны. а высказывания 2) и 3) ложны.

Очевидно, предложение Да здравствуют наши спортсмены!,» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок НЕ, И, ИЛИ., .ЕСЛИ .... ТО ..... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА.. принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания Карась - рыба. с помощью

отрицания НЕ, высказывание 4) образовано из элементарных высказываний Число 6 делится на 2., 4 Число 6 делится на 3, соединенных союзом И.. Высказывание 5) получается из простых высказываний Юноша окончил среднюю школу, .Юноша получает аттестат зрелости. с помощью грамматической связки .ЕСЛИ ..., ТО ..... Сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок .ИЛИ., .ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА..

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только С точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно. либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать малыми буквами латинского алфавита: х. у, z, .... а, b. с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение цифрой 0.

Если высказывание а истинно. то будем писать а = 1 , а если а ложно, то а = 0 .

Логические операции над высказываниями.

1. Отрицание. Отрицанием высказывания х называется новое высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда х ложно, и ложно, если высказывание х истинно.

х

2. Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкцией двух высказываний х и у называется новое высказывание , которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным во всех остальных случаях.

Таблица истинности операции конъюнкции имеет следующий вид:

х	у

3. Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух высказываний х и у называется новое высказывание , которое считается ложным, если оба высказывания х и у ложны, и истинным во всех остальных случаях.

Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности:

х	у

4. Импликация.Импликацией двух высказываний х и у называет новое высказывание , которое считается ложным, если х- истинно, а у- ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Высказывание х называют посылкой, а у – заключением.

Таблица истинности имеет следующий вид:

х	у

5. Эквиваленция.Эквиваленцией двух высказываний х и у называют новое высказывание , которое считается истинным, когда оба высказывания х и у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны..

Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности.

х	у

Символы называются позиционными связками. Логическим связкам приписывают ранги в следующем порядке убывания старшинства: . Таким образом, связка более высокого ранга имеет большую область действия.

Существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, рассмотренных выше. Такими операциями являются:

1. Штрих Шеффера (читается «А несовместно с В»). Эта операция обозначается и определяется следующей таблицей истинности.

x	y

Имеет место следующее равенство

2. Стрелка Пирса(читается «ни А, ни В»). Эта операция обозначается и определяется следующей таблицей истинности.

x	y

Имеет место следующее равенство

3. Сложение по модулю два (исключающее или). Эта операция обозначается и определяется следующей таблицей истинности.

x	y

Имеет место следующее равенство