Энергия и мощность в цепи синусоидального тока

СООТНОШЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

 

К цепи подведено напряжение .

По 2 закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:

Комплекс действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:

Построим векторную диаграмму для этой схемы

 

Из векторной диаграммы (D 0АВ):

;

Отсюда: - закон Ома для цепи переменного тока.

- полное сопротивление цепи.

Если сопротивлений много, то .

Аналогично можно записать из исходного уравнения:

,

где - реактивное сопротивление цепи.

D 0АВ - треугольник напряжений:

Разделив каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:

Угол j представляет собой угол сдвига фаз между током и напряжением:

.

Активные, реактивные и полные проводимости цепи

- комплексная проводимость цепи.

,

где - активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).

- реактивная проводимость цепи.

При X=X_L - X_C > 0 B > 0,

а при X=X_L - X_C < 0 B < 0.

С учетом проводимостей закон Ома принимает вид:

,

где I_a - активная составляющая тока I;

I_p - реактивная составляющая тока I.

Векторная диаграмма имеет вид:

Треугольник проводимостей:

.

Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока

1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю. Или геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.

Для действующих значений: ;

для мгновенных значений : .

2-й закон Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, C элементы, тогда мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:

.

Сумма комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:

.

Энергия и мощность в цепи синусоидального тока

с идеальными R,L,C элементами

В цепи постоянного тока мощность определялась выражением .

Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением R,L,C элементов.

 

Запишем подведенное напряжение: и ток .

. При y_i=0 y_u=j.

Если X_L >X_C , то j > 0 и наоборот.

Для мгновенных значений справедливо выражение:

.

Отдельно здесь запишем: .

.

Результат: - это выражение для мгновенной мощности.

Энергия, которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:

.

Но , поэтому .

- коэффициент мощности.

Из треугольника напряжений , поэтому

активная мощность.

Таким образом, среднюю мощность за период называют активной мощностью.

Рассмотрим цепь с активным элементом, т.е. j = 0.

 

.

Построим график этой функции:

Мощность больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь и здесь тратится. Что это за энергия?:

- это энергия тепловая.

Рассмотрим цепь с индуктивным элементом, т.е. j = p/2.

 

.

Но и первое и второе выражения равны нулю, т.е. среднее значение мощности за период равно нулю. Из общего выражения для мгновенной мощности:

За период мощность дважды меняет знак. Положительное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь. Отрицательное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не потребляет.

Найдем значение энергии, поступающей с цепь за четверть периода:

- это выражение для энергии магнитного поля.

Здесь мы сделали замену пределов интеграла:

при t=0 i=0;при t=T/4 i=I_m.

Таким образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом, преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток растет по абсолютной величине. В этот момент энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.

При уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит непрерывный обмен энергиями.

Рассмотрим цепь с емкостным элементом, т.е. j = -p/2.

Из общего выражения для мгновенной мощности:

. Здесь ток опережает напряжение. Тот же рисунок, но ток и напряжение поменяли местами

 

- это энергия электрического поля.

Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы, аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется энергия электрического поля.

В реальной электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и потребителями.