Уточнение понятия алгоритма

Лекция 7-8

Элементы теории алгоритмов. Интуитивное понятие алгоритма и его характерные черты. Необходимость уточнения понятия алгоритма.

Понятие алгоритма принадлежит к числу основных понятий математики. Оно прошло большой путь развития. Еще в период зарождения математики в ней стали возникать различные вычислительные процессы чисто механического характера, c помощью которых искомые величины целого класса задач вычислялись последовательно из данных исходных величин по определенным правилам. Со временем такие процессы в математике получили название алгоритмов. Примерами алгоритмов являются:

1. Правила выполнения арифметических действий над числами.

2. Правило отыскания наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида).

3. Правило извлечения квадратного корня.

4. Правило отыскания решений квадратного уравнения.

5. Правило отыскания производной многочлена n-ой степени.

6. Правило интегрирования рациональной функции.
В каждом из приведенных примеров приходится иметь дело с классом однотипных задач, или, как говорят, с массовой проблемой. Задачи такого класса отличаются друг от друга значениями входящих в них параметров. Так, в задаче отыскания решения квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 участвует три параметра а, b и с; меняя их, получаем различные задачи одного класса.

В связи со сказанным можно дать следующее определение понятия алгоритма.

Алгоритмом называется общий единообразный, точно определенный способ решения любой задачи из данной массовой проблемы.

Такое определение нельзя считать строгим. Действительно, в нем встречаются слова, точный смысл которых не установлен. В частности, это касается слова «способ». В связи с этим это не строгое определение алгоритма называют интуитивным.

Отметим характерные черты понятия алгоритма.

1. Дискретность алгоритма. Алгоритм - это процесс последовательного построения величин таким образом, что в начальный момент задается исходная конечная система величин, а в каждый следующий момент система величин получается по определенному закону из системы величин, имевшихся в предыдущий момент.

2. Детерминированность алгоритма. Система величин, получаемых в какой-то не начальный момент, однозначно определяется системой величин, полученных в предшествующие моменты времени.

3. Элементарность шагов алгоритма. Закон получения последующей системы величин из предшествующей должен быть простым.

4. Массовость алгоритма. Начальная система величин может выбираться из некоторого потенциально бесконечного множества.

5. Результативность алгоритма. Последовательный процесс построения величин должен быть конечным и давать результат, то есть решение задачи.

Алгоритмы, в которых основную роль играют математические действия, называются численными алгоритмами. От численных алгоритмов отделяют логические алгоритмы игр. В качестве примера, дающего логический алгоритм, рассмотрим следующую игру.

Имеется 15 предметов. В игре участвуют двое: начинающий и противник. Каждый игрок по очереди берет один, два или три предмета. Выигрывает тот, кто берет последний предмет. Какой стратегии в игре должен придерживаться начинающий, чтобы выиграть?

Выигрышная стратегия начинающего может быть описана в форме следующей таблицы:

Действительно, в итоге такой стратегии начинающий возьмет 3 + (4 - n) + (4 - m) + (4 - р) - 15 - {n+ m + р) предметов, а противник возьмет n + m + р предметов, т.е. в сумме они возьмут 15 предметов, и последний предмет будет взят начинающим.

Слово «алгоритм» происходит от имени узбекского математика XIII века Абу Абдалла Мухаммед ибн Муса ал Хорезми ал Меджуси. Оно претерпело эволюцию: ал Хорезми - ал Горезми - алгоритм.

Уточнение понятия алгоритма

В истории математики накопилось много случаев длительных и часто безрезультатных поисков тех или иных алгоритмов. При этом естественно возникало сомнение в существовании алгоритма.

Одним из ярких примеров такого случая является история решения десятой проблемы Д. Гильберта.

В 1900 году на втором международном математическом конгрессе в Париже немецкий математик Давид Гильберт огласил список 23 трудных проблем, на важность решения которых он обращал внимание математической общественности. Среди них была и следующая 10-ая проблема Гильберта: требуется выработать алгоритм, позволяющий для любого диофантова уравнения выяснить, имеет ли оно целочисленное решение.

Рассмотрим всевозможные диофантовы уравнения, т.е. уравнения вида Р = 0, где Р является многочленом

с целочисленными коэффициентами. Такими будут, например, уравнения

х² + у² - 2хг = 0,

10х⁵ + 7х² + 5 = 0,

из которых первое с тремя неизвестными, а второе с одним неизвестным. В общем случае рассматривают уравнения с любым числом неизвестных. Такие уравнения могут иметь целочисленные решения, а могут и не иметь.

Так, уравнение х² + у² - 2хг = 0 имеет бесконечное множество целочисленных решений, а уравнение 10х⁵ + 7х² + 5 = 0 таких решений не имеет.

Для частного случая диофантова уравнения с одним неизвестным давно известен алгоритм, позволяющий найти все его целочисленные решения. Установлено, что если уравнение

с целочисленными коэффициентами имеет целый корень, то он обязательно является делителем a_n. В связи с этим можно предложить такой алгоритм:

1) Найти все делители числа a_n: d₁ d₂, ..., d_n.

2) Вычислить P_n(x} для каждого из делителей числа а_n

3) Если при некотором i из совокупности 1,2,...,n

P_n(d_i) = 0, то d_t - корень уравнения. Если при всех i = 1,2,...,k P_n(d_j)¹0, то уравнение не имеет целочисленных решений.

Поиски решения десятой проблемы Гильберта привлекли внимание многих математиков и длились около 70 лет. Только в 1968 году молодым математиком Ю. Матиясевичем было доказано, что нет алгоритма, дающего решение поставленной задачи.

Интуитивное определение алгоритма хотя и не строгое, но настолько ясное, что не дает оснований для сомнений в тех случаях, когда речь идет о найденном алгоритме решения конкретной задачи.

Положение существенно меняется, когда возникает алгоритмическая проблема, решение которой не найдено, и требуется установить, имеет ли она решение.

Действительно, в этом случае нужно либо доказать существование алгоритма, либо доказать его отсутствие.

В первом случае достаточно дать описание фактического процесса, решающего задачу. В этом случае достаточно и интуитивного понятия алгоритма, чтобы удостовериться в том, что описанный процесс есть алгоритм.

Во втором случае нужно доказать несуществование алгоритма, а для этого нужно точно знать, что такое алгоритм. Между тем для общего понятия алгоритма точного определения до тридцатых годов XX века не было, и поэтому выработка такого определения стала одной из важных задач современной математики. При формулировке этого определения пришлось преодолеть многие трудности.

Во-первых, такое определение должно было правильно отражать сущность интуитивного определения алгоритма.

Во-вторых, оно должно было быть совершенным с точки зрения формальной точности.

И наконец, различные исследователи этой проблемы исходили из разных технических и логических соображений, и вследствие этого было выработано несколько определений алгоритма. Однако со временем выяснилось, что все эти определения равносильны, т.е. определяют одно и то же понятие. Это и есть современное понятие алгоритма.

В подходах к определению понятия алгоритма можно выделить три основных направления.

Первое направление связано с уточнением понятия эффективно вычислимой функции. Этим занимались А. Черч, К. Гедель, С. Клини. В результате был выделен класс так называемых частично-рекурсивных функций, имеющих строгое математическое определение. Анализ идей, приведших к этому классу функций, дал им возможность высказать гипотезу о том, что класс эффективно вычислимых функций совпадает с классом частично рекурсивных функций.

Второе направление связано с машинной математикой. Здесь сущность понятия алгоритма раскрывается путем рассмотрения процессов, осуществляемых в машине. Впервые это было сделано Тьюрингом, который предложил самую общую и вместе с тем самую простую концепцию вычислительной машины. Ее описание было дано Тьюрингом в 1937 году. При этом Тьюринг исходил лишь из общей идеи работы машины как работы вычислителя, оперирующего в соответствии с некоторым строгим предписанием.

Третье направление связано с понятием нормальных алгоритмов, введенным и разработанным российским математиком А. А. Марковым.