Дискретное преобразование Фурье

Лекция 7 дискретное преобразование Фурье

Вопросы лекции:

1. Дискретное преобразование Фурье.
2. Свойства дискретного преобразования Фурье.
3. Матрица ДПФ.
4. Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала.

При дискретизации аналогового сигнала его спектр становится периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации. Однако одного только этого соотношения оказывается недостаточно для решения всех практических задач спектрального анализа. Во-первых, в качестве исходных данных выступает именно последовательность дискретных отсчетов, а не аналоговый сигнал. Во-вторых, в большинстве случаев анализируемые сигналы являются случайными процессами, что требует выполнения какого-либо усреднения при расчете их спектров. Кроме того, в ряде случаев нам известна некоторая дополнительная информация об анализируемом сигнале, и эту информацию желательно учесть в спектральном анализе.

Дискретное преобразование Фурье лежит в основе различных технологий спектрального анализа, предназначенных для исследования случайных процессов. Дело в том, что если анализируемый сигнал представляет собой случайный процесс, то простое вычисление ДПФ обычно не представляет большого интереса, так как в результате получается лишь спектр единственной реализации процесса. Поэтому для спектрального анализа случайных сигналов необходимо использовать усреднение спектра. Такие методы, в которых используется только информация, извлеченная из самого входного сигнала, называются непараметрическими (nonparametric).

Другой класс методов предполагает наличие некоторой статистической модели случайного сигнала. Процесс спектрального анализа в данном случае включает в себя определение параметров этой модели, и потому такие методы называются параметрическими (parametric). Используется также термин "модельный спектральный анализ" (Model-Based Spectrum Analysis, MBSA).

Дискретное преобразование Фурье

Рассмотрим спектр дискретного периодического сигнала. Пусть последовательность отсчетов {x(k)} является периодической с периодом N:

для любого k.

Такая последовательность полностью описывается конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной N, например {x(k), k = О, 1,..., N — 1}. Поставленный в соответствие этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

(1)

также, разумеется, будет периодическим с минимальным периодом N Т.

Так как сигнал (5.1) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом 2π/Т. Так как этот сигнал является также и периодическим его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным 2π/(NT).

Итак, периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который также описывается конечным набором из N чисел (один период спектра содержит гармоник).

Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда, согласно общей формуле (1.9), равны

(2)

.

Таким образом, формула для вычисления комплексных амплитуд гармоник представляет собой линейную комбинацию отсчетов сигнала.

В выражении (2)реальный масштаб времени фигурирует только в множителе 1/Т перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому множитель 1/Т из (2) удаляют (частота дискретизации равна единице). Полученное выражение называется дискретным преобразованием Фурье:

. (3)

Существует и обратное дискретное преобразование Фурье. Переход от дискретно спектра к временным отсчетам сигнала выражается следующей формулой:

(4)