Дифференцируемость функции
Определение 3.1.Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде , (3.1) где , …, - некоторые числа, а , …, бесконечно малые функции при , …, . Теорема 3.1. (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет частные производные по всем аргументам, причем ( ), где определяются из условия (3.1). Доказательство. В силу (2.1) и (2.2) частное приращение функции в точке может быть получено из полного приращения при , , , …, . Отсюда, согласно условию (3.1) дифференцируемости функции в точке , ее частное приращение в этой точке можно представить в виде . В предположении последнее равенство может быть переписано в виде , что по свойству предела эквивалентно равенству .
В силу теоремы 3.1 условие (3.1) дифференцируемости функции в точке можно представить в следующей форме: .
Теорема 3.2. (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , причем все эти частные производные непрерывны в самой точке , то указанная функция дифференцируема в точке . Доказательство теоремы 3.2 можно найти в [1] и [2]. Как частный случай определения 3.1 получаем
Определение 3.2. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде , (3.2) где А – некоторое число, а - бесконечно малая величина при . Теорема 3.3. (необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции одной переменной). Функция дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда в этой точке существует производная , причем . Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке х, т.е. или при условии , или по свойству предела . Таким образом, дифференцируемость функции одной переменной равносильна существованию производной этой функции. Функция при указанным свойством не обладает. Теорема 3.4. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Если функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение в этой точке представимо в виде , где , …, - некоторые числа, а , …, бесконечно малые функции при , …, . Переходя в последнем равенстве к пределу при , …, , получим , что равносильно непрерывности функции в точке . Обратное утверждение о том, что из непрерывности следует дифференцируемость, вообще говоря, неверно. Например, функция непрерывна в точке , так как в этой точке существуют правое и левое предельные значения функции, оба равные значению функции в точке . Данная функция в точке имеет правую производную и левую производную . Но поскольку указанные производные не совпадают, функция не имеет производной в точке , и следовательно, по теореме 3.3 не дифференцируема (см. рис. 3.1).
Рис. 3.1
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (575)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |