Урок №37. Системы линейных уравнений с параметром. Тест №6

Рассмотрим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Напомним, что каждое линейное уравнение задает на плоскости прямую. Система имеет единственное решение, если эти прямые пересекаются, бесконечно много решений, если они совпадают, и не имеет решений, если они параллельны. Если коэффициенты системы — известные числа, то очень просто решить систему, либо показать, что она не имеет решений. Но, если коэффициенты системы содержат параметр, возникают некоторые сложности. Мы сформулируем условия, которым должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы система 1) имела единственное решение; 2) имела бесконечно много решений; 3) не имела решений.

Чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие . Чтобы понять происхождение этого условия, попытаемся решить систему. Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем из первого второе. Получим уравнение . Если , то, поделив обе части на это выражение, мы находим единственное значение . Если , а , то, очевидно, решений нет. В случае, когда и , то возможно и отсутствие решений (например, система ), и бесконечно много решений (например, система ). Данные условия можно истолковать геометрически следующим образом. Если , то , т. е. коэффициенты прямых и при переменных не пропорциональны, прямые имеют разный наклон и пересекаются. Если же (это выполняется при условии , , ), то уравнения и задают одну прямую, поскольку одно получается из другого умножением на число, например, и . При прямые имеют одинаковый наклон, но не совпадают, т. е. параллельны.

1. Найти, при каких система не имеет решений. Решение. Должно выполняться условие . Внимание! Полученные значения нужно проверить. Подставим в систему и получим систему . Но эта система имеет бесконечно много решений. Подставим в систему и получим систему . Эта система действительно не имеет решений. Ответ: .

2. Найти, при каких система имеет бесконечно много решений. Решение. Должно выполняться условие . Полученные значения нужно проверить. Подставим в систему и получим систему . Но эта система не имеет решений. Подставим в систему и получим систему . Эта система действительно имеет бесконечно много решений. Ответ: 4.

3. Изобразить на плоскости множество всех точек таких, что при данных значениях система имеет ненулевое решение. Решение. Поскольку решение (0; 0) эта система имеет, то по условию она должна иметь бесконечно много решений. Значит, должно выполняться условие . Причем при любых таких значениях система имеет бесконечно много решений (не иметь решений она не может). Итак, данное множество — это окружность единичного радиуса с центром в точке (0; 0).

4. Найти числа такие, что система имеет бесконечно много решений, причем — одно их них. Решение. Подставим значения в систему и добавим условие : . Преобразуя систему, получаем . Решения этой системы и . Производим проверку и убеждаемся, что оба ответа подходят. Ответ: ; .

5. При каких системы и равносильны? Решение. Первая система при не имеет решений. Найдем, при каких значениях вторая система не имеет решений. Рассмотрим равенство , в данном случае . Проверкой убеждаемся, что при вторая система решений не имеет, значит, системы равносильны. При вторая система имеет вид и имеет бесконечно много решений (а первая решений не имеет). При первая система имеет бесконечно много решений, а вторая — одно решение, значит, они не равносильны. Ответ: –2.

6. При каких значениях все решения системы удовлетворяют условию ? Решение. Выразим из первого уравнения и подставим во второе: , . Прежде, чем выражать из этого уравнения , нужно рассмотреть случай, когда . Если , то получаем , здесь решений нет. Если , то получаем . Это означает, что можно взять произвольным. Таким образом, при решением системы является любая пара чисел вида . Но неверно, что все они удовлетворяют условию , значит, в ответ не войдет. Пусть теперь , тогда можно уравнение сократить на выразить . Затем находим : . Запишем условия в виде системы: . Учитывая, что , получаем . Ответ: .

Домашнее задание

7. При каких значениях система имеет бесконечно много решений? Ответ: –6.

8. При каких значениях система имеет бесконечно много решений? Ответ: 3.

9. При каких значениях параметра система имеет а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) не имеет решений? Ответ: а) ; б) ; в) .

10. При каких значениях система не имеет решений? Ответ: 1.

11. При каких значениях система не имеет решений? Ответ: –4.

12. Числа таковы, что система имеет единственное решение, . Найти эти числа. Ответ:

13. При каких значениях системы и равносильны? Ответ: –3; 3.

Тест №6

1. Результат упрощения выражения , где , равен 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Число является корнем квадратного уравнения ; 2) ; 3) ; .

3. Среднее арифметическое корней уравнения равно 1) ; 2) ; 3) 1; 4) 0.

4. Сумма всех целых решений неравенства равна 1) –4; 2) –5; 3) –2; 4) таких решений бесконечно много.

5. Число различных корней уравнения равно 1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 4.

6. Прямые и пересекаются в точке, лежащей на оси Oy, если a равно 1) ; 2) ; 3) 1; 4) .

7. Сумма корней уравнения равна 1) 4; 2) 5; 3) –2; 4) 6.

8. Система неравенств имеет единственное решение при значении a, равном 1) 7; 2) –3; 3) ; 4) 6.

9. Множество значений функции не пересекается с областью определения функции , если 1) ; 2) ; ; 4) всегда не пересекается.

10. Число целочисленных решений системы равно 1) 0; 2) 2; 3) 8; 4) 10.

11.

х

12. Уравнение имеет четыре корня при ; 2) a Î (0; 2); 3) a Î (2; 4); 4) a Î (2; +¥).

13. Корни уравнения образуют множество 1) ; ; 3) ; 4) .

14. Выбрать число, ближайшее к одному из корней уравнения : 1) 0,5; 2) 2; 3) –0,5; 4) –1.

15. Параболы на рисунке заданы уравнениями (1) , . При этом выполняются неравенства: .