Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К практическим занятиям По курсу общей физики
Уфа 2005
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К практическим занятиям По курсу общей физики
Уфа 2005
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по курсу общей физики
Уфа 2005 Составители С.А. Шатохин, Э.В. Сагитова
УДК [539.19+536](07) ББК [22.36+22.317](Я7)
Основы молекулярной физики и термодинамики: Методические указания к практическим занятиям по курсу общей физики. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: С.А. Шатохин, Э.В. Сагитова -Уфа, 2005. - 32 c.
Приведены примеры решения различных типов задач по темам практических занятий раздела «Основы молекулярной физики и термодинамики». Предназначены для студентов 1 и 2 курсов.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензенты: А.С. Краузе Э.З. Якупов
© Уфимский государственный авиационный технический университет, 2005 Содержание
Введение........................................................................................................... 4 Основные формулы........................................................................................ 5 Примеры решения задач................................................................................ 9 1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов ........................ 9 2. Основы термодинамики.......................................................................... 15 Список литературы....................................................................................... 32 Введение Практические занятия являются одной из важнейших компонент учебного процесса по физике. Они способствуют приобщению студентов к самостоятельной работе, учат анализировать изучаемые физические явления, использовать на практике полученные теоретические знания. Предназначены для студентов, изучающих раздел курса общей физики «Основы молекулярной физики и термодинамики». В методических указаниях представлены примеры решения типичных задач разной степени трудности. Решения сопровождаются необходимыми примерами и комментариями. Задачи систематизированы по основным темам раздела. Приведены основные формулы, облегчающие усвоение алгоритмов решения задач. Основы молекулярной физики и термодинамики
Основные формулы
Количество вещества , где N – число молекул, NA – постоянная Авогадро, m – масса вещества, M – молярная масса.
Уравнение Менделеева- Клайперона , где р – давление газа, V – его объем, R – молярная газовая постоянная, T – термодинамическая температура.
Уравнение молекулярно – кинетической теории газов , где n0 – концентрация молекул, <Eпост> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, m0 – масса молекулы, <υкв> – средняя квадратичная скорость.
Средняя кинетическая энергия молекулы , где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.
Внутренняя энергия идеального газа . Скорости молекул: средняя квадратичная , средняя арифметическая , наиболее вероятная .
Средняя длина свободного пробега молекулы , где d – эффективный диаметр молекулы.
Среднее число столкновений молекулы в единицу времени .
Уравнение диффузии , где D – коэффициент диффузии, Ρ – плотность, dS – элементарная площадка, перпендикулярная к оси Х.
Уравнение теплопроводности , где χ – коэффициент теплопроводности.
Сила внутреннего трения , гдеη – динамическая вязкость.
Коэффициент диффузии .
Вязкость (динамическая) .
Теплопроводность , где сV - удельная изохорная теплоемкость.
Молярная теплоемкость идеального газа: Изохорная , Изобарная .
Первое начало термодинамики
Работа расширения газа при процессе: Изобарном , Изотермическом , адиабатном , где .
Уравнение Пуассона (уравнение адиабатного процесса) , , .
Коэффициент полезного действия цикла Карно , где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура, Q0 и T0 – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 Уравнение Ван - дер - Ваальса: для 1 моль газа , для ν моль газа , где a и b – постоянные Ван - дер - Ваальса, VM – объем 1 литра газа.
Критические параметры .
Собственный объем молекулы .
Высота поднятия жидкости в капилляре радиусом r .
Примеры решения задач Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
Задача 1. Определить, сколько киломолей и молекул водорода содержится в объеме 50 м3 под давлением 767 мм рт. ст. при температуре 18°С. Какова плотность и удельный объем газа?
можно определить ν: Число молекул N, содержащихся в данном объеме, находим, используя число Авогадро NА (которое определяет какое количество молекул содержится в одном киломоле). Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть установлено, так как известно число молей ν. Подставляя в формулу число киломолей, устанавливаем число молекул, содержащихся в объеме V: . Плотность газа ρ = m/V определяем из уравнения Менделеева - Клайперона: Подставляя числовые значения в единицах СИ в формулу, определим плотность газа:
Удельный объем газа d определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:
Ответ: 11,9 м3/кг.
Задача 2. В сосуде объемом 2 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27°С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
М1 – егомолярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль·К) –молярная газовая постоянная; р2– парциальное давление водорода; m2– масса водорода; М2 – его молярная масса. По закону Дальтона: (3) Из уравнений (1) и (2) выразим р1и р2и подставим в уравнение (3): (4) С другой стороны, уравнение Менделеева - Клайперона для смеси газов имеет вид: (5) Сравнивая (4) и (5) найдем молярную массу смеси газов по формуле: , (6) где ν1 и ν2 – число молей гелия и водорода соответственно.
Ответ: 3·10-3 кг/моль.
Задача 3. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода <λ> = 2,5 см при температуре 68°С? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3·10 –10 м.
Это проводится следующим образом: ; ; ; где NA – число Авогадро и k – постоянная Больцмана. Следовательно, Так как , имеем . Число молекул в 1 м3 выразим через среднюю длину свободного пробега. Из формулы , находим Таким образом:
Ответ: 0,8 Па.
Задача 4. Определить плотность разреженного азота, если средняя длина свободного пробега молекул 10 см. Какова концентрация молекул?
, (1) где d – эффективный диаметр молекул (для азота d = 0,31·10 –9 м). Концентрацию молекул найдем из равенства: , (2) где NA – число Авогадро; М = 28·10 –3 кг/моль – молярная масса азота. Решая совместно уравнения (1) и (2), находим:
Ответ: 1,09·10-6 кг/м3.
Задача 5. Вычислить коэффициент внутреннего трения и коэффициент диффузии кислорода, находящегося при давлении 0,2 МПа и температуре 280 К.
(1); (2), где ρ– плотность газа; < λ > – средняя длина свободного пробега молекул; <υар> – средняя арифметическая скорость молекул. Из (1) и (2) следует (3) Среднюю арифметическую скорость и среднюю длину свободного пробега молекул находим по формулам: (4) , (5) где R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура; d = 2,9·10 –10 м – эффективный диаметр молекулы кислорода; n0 – число молекул в 1 м3 (концентрация). Из уравнения Менделеева - Клайперона определяем n0 (см. задачу 3): (6) где р – давление; k = 1,38·10 –23 Дж/К – постоянная Больцмана. Подставляя (6) в уравнение (5), получаем: . (7) Окончательный вид расчетной формулы для коэффициента диффузии найдем, подставляя выражения (4) и (7) в уравнение (2): . (8) Плотность кислорода определяется по формуле: . С учетом (6) имеем: . (9) Подставляя (9) и (8) в (3), получаем расчетную формулу для коэффициента внутреннего трения: . Вычисляем: Ответ: .
Задача 6. Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м2 и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя поверхность–293 К. Помещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной. Теплопроводность кирпича 0,4 Вт/(м·К).
За время t – электроплита должна выделить такое же количество теплоты: (2) Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем: , откуда , Ответ: 0,92 кВт.
2. Основы термодинамики
Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.
число степенейсвободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия: Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i= 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы: , . Число молекул, содержащихся в массе газа m: , где ν – число молей, NA – число Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет: , (1) где R = kNA – молярная газовая постоянная. Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода: . (2) Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем: Ответ: 4986 кДж, 3324 кДж.
Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р1 = 100 кПа до Р2 = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р3 газа в конце процесса.
Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона: (1) Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением: , откуда P1V1 = P3V3. По условию задачи V2 = V3.Используя уравнение (1) можно записать . Тогда Ответ: Задача 9. Вычислить массу столба воздуха высотой 1 км и сечением 1 м2, если плотность воздуха у поверхности Земли а давление Р0 = 1,013 ∙ 105 Па. Температуру воздуха считать одинаковой.
. (1) Продифференцировав (1), получим (2) С другой стороны убыль давления dP при переходе от высоты h0 к высоте h0 + dh (3) где – плотность воздуха на высоте h. Используя уравнения (2) и (3) получим: или Вычислим массу столба воздуха Подставив данные, приведенные в условии задачи получим: m = 1,13 · 103 кг. Ответ: m = 1,13 · 103 кг.
Задача 10. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 107 Па, а объем 0,3 л.
, где т и υ – масса и скорость поршня. Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой: , где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для кислорода γ =1,4). Так как , то , Ответ: 54 м/с.
Задача 11. Молекулярный пучок кислорода ударяется о неподвижную стенку. После соударения молекулы отражаются от стенки с той же по модулю скоростью. Определить давление пучка на стенку, если скорость молекул 500 м/с и концентрация молекул в пучке 5·10 24 м -3.
где F – сила давления, S – площадь. Силу давления найдем из второго закона Ньютона: , (2) где m – масса кислорода, ударившегося о стенку за время t, Δυ – изменение скорости молекул при ударе. Массу одной молекулы кислорода найдем из закона Авогадро: , где М = 32·1023 кг/моль – молярная масса кислорода; NA = – постоянная Авогадро. За время t о стенку ударяются молекулы, находящиеся в объеме: , масса которых: . (3) Изменение скорости при соударении: . (4) Подставляя выражения (3), (4) в (2), находим: , откуда , . Ответ: 1,33·105 Па.
Задача 12. Определить удельные теплоемкости ср, сv, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.
происходит нагревание. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: , где , т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы. Изменение внутренней энергии смеси газа определяется формулой: , где i1 и i2 – число степеней свободы первого и второго газов. Окончательно получим: . (1) Если нагревание происходит при постоянном давлении, то , (2) где , т.е. сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. Работа при изобарическом расширении для каждого газа равна: ; , поэтому: . Подставляя это значение в уравнение (2), получим: . Произведем вычисления: Ответ: .
Задача 13. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.
постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4. Отсюда выражение для конечной температуры Т2 будет: . Работа А1 газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии: .
Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:
Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:
График процесса приведен на рисунке 1. Ответ: 8,7 · 103 Дж.
Задача 14. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1= 1 м3 и находится под давлением р1= 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2= 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3= 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.
Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона: . (2) Решая его относительно Т, получим: (3) Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него
величин, находим: Работа расширения газа при постоянномдавлении выражается формулой: . Подставив числовые значения, получим: Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: . Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А: , следовательно: . График процесса приведен на рисунке 2. Ответ: 3,65 МДж.
Задача 15. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n = 1 моль и находящийся под давлением Р1 = 0,1 МПа при температуре Т1 = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р2 = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширялся до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V1. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД h.
Переход газа на участке 1-2 происходит изохорически при V1 = const. Давления и температуры газов в состояниях 1 и 2 связаны между собой соотношением: = . Отсюда T2 = 2Т1 = 600 K. Так как переход газа 2-3 изотермический, то Т2 = Т3. Термический КПД цикла определяется выражением , (1) где Q1 – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, Q2 – количество теплоты, отданное холодильнику за цикл. Газ получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3 Q 1= Q 1-2 + Q 2-3, где Q 1-2 = C v v (T 2 - T 1) – количество теплоты, полученное при изохорическом нагревании, – количество теплоты, полученное при изотермическом расширении. Газ отдает количество теплоты на участке 3-1 при изобарическом сжатии: Q 3-1 = Q 2 = Cр – молярная теплоемкость газа при V = const, C р – молярная теплоемкость газа при P = const. Подставив значения Q 1 и Q 2, С v и С р в формулу (1) получим: , Ответ: T 2 = T 3 = 600 K, η = 9,9 %.
Задача16. Кислород массой 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объём увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа 3000 Дж. Определить работу, совершенную за цикл.
На рисунке 3 участок 1-2 соответствует изотермическому расширению газа (Т1 = Т2), участок 2-3 – адиабатическому расширению газа, участок 3-4 – изотермическому сжатию (Т3 = Т4) и участок 4-1 – адиабатическому сжатию. При изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, следовательно, все подводимое тепло Q1 идет на работу по расширению газа на участке 1-2, т.е. (1) При изотермическом сжатии на участке 3-4 Q2 тепло отдается холодиль
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (606)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |