Понятие об устойчивости и асимптотической устойчивости решения диф.уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной
При изучении какого-либо явления, описываемого диф.уравнением, начальные условия для которого определяются приборами с различными погрешностями, малые отклонения в начальных данных могут привести к большим отклонениям при больших t. Поэтому возникает задача определить насколько решение отличается от изучаемого (истинного) при всех нужных t. Теорема: Если правая часть диф.уравнения непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную частную производную по x в некоторой окрестности точки , то тогда решение, проходящее через эту точку, непрерывно зависит от начальных данных. (Без док-ва)
Рассмотрим уравнение , функция f(t,x) определена и непрерывна для , а – некоторое число, х берется из некоторой области и имеет ограниченную частную производную . Пусть функция есть решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию . Еще одна функция x=x(t) есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию, а именно . Предполагается также, что решения x(t)и определены при . Опр.:Решение наз-ся устойчивым по Ляпунову при , если для и такое, что из условия . Это значит, что решения близкие по начальным данным решению остаются близкими к этому решению . Если хотя бы одно из решений x(t) не удовлетворяет такому условию, то решение наз-ся неустойчивым. Опр.: Решение наз-ся асимптотически устойчивым, если: 1. оно устойчиво; 2. .
Очевидно, что из асимптотической устойчивости следует устойчивость, а в обратную сторону не выполняется. ПримерХХ:Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения: x’=0 X=C, x=0, j(t)=0 – тривиальное решение. , .
решение j(t)=0 не является асимптотически устойчивым. Пример 1:Исследовать на устойчивость решение уравнения: x =-2tx, x(0)=0. (Ответ: при t 0 асимптотически устойчиво). Пример 2:x =2t, x(0)=0 (Ответ: устойчиво не асимптотически). Пример 3:tx =x, x(1)=0/ (Ответ: при t 1 неустойчиво)
Продолжение 31 Фаз.портрет – “Звездный устойчивый узел”, не прямые – а лучи.
Вывод:очевидно, что все траектории системы приближаются к неподвижной точке (0;0), значит, все интегральные кривые будут приближаться к прямой . Таким образом, данная прямая является устойчивым, даже асимптотическим, решением системы.
2) Тип фазового портрета зависит от элементарных делителей матрицы коэфф-ов. Если матрица коэф-ов невырожденная, то в случае, когда имеется один непростой делитель получается один вырожденный узел:
Если - устойчивый - неустойчивый
Если матрица коэф-ов имеет два простых элементарных делителя, - устойчивость - неустойчивость 3) - комплексно-сопряженные,т.е. Если - устойчивый фокус (закручивающиеся спирали)
Если - неустойчивый фокус (раскручивающиеся спирали)
Если , то фазовый портрет наз-ся центром(он устойчивый, но не асимптотически)
Для системы n-уравнений 1-го порядка с постоянными коэф-ми справедливы следующие предложения: · Если все корни характер-го уравнения имеют отрицательную действительную часть, то всерешения системы - устойчивы; · Если хотя бы один корень харак-го уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы - неустойчивы; · Если харак-е уравнение имеет простые корни с нулевой действит-ой частью, а остальные корни, если они есть, имеют отриц-ую действит-ую часть, то все решения системы - устойчивы, но не асимптотически.
Продолжение 27а Пример:Решить систему: (2) Решение:, (Система (2) записана в симметрической форме). Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сокращая равенство на и интегрируя, получаем первый интеграл (3) Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемся следующим свойством равных дробей: если , то при любых имеем: . Пользуясь этим свойством, получаем из (2): . Следовательно, (4) Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы. Система решена.
Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию, можно, воспользовавшись знанием первого интеграла (3),исключить из системы (2) одно из неизвестных, например x. Из (3) имеем . Подставляя во второе из уравнений (2), получаем: . Отсюда: . Подставляя сюда выражение для из формулы (3), находим еще один первый интеграл: .
Введем в рассмотрение линейный диф.оператор: . Тогда система записывается в краткой форме: L(x)=F. Если матрица F – нулевая, то система наз-ся однородной и записывается L(x)=0. Теорема 2:Если вектор x(t) является решением лин. однородной системы, то произведение этого вектора на любую const C тоже есть решение этой системы. Теорема 3:Если векторы и являются решениями однородной системы, тогда и их сумма является решением данной системы. Следствие:решением однородной системы является любая линейная комбинация ее решений с постоянными коэф-ми. Теорема 4:Если есть решение линейной неоднородной системы, а - решение соответствующей однородной системы, то сумма есть решение неоднородной системы.
Решение неоднородной системы i=1,…,n можно найти методом вариации постоянных, если известно общее решение однородной системы с теми же коэф-ми . Для этого в формуле общего решения однородной системы надо заменить произвольные постоянные на неизвестные функции . Полученные выражения для надо подставить в данную неоднородную систему, и из этой системы найти .
Продолжение 29 Замечание:Пусть правая часть неоднородного линейного уравнения представляет собой формулу двух функций: . Пусть - есть частное решение. а . Следовательно: сумма является решением этого данного уравнения. Определитель Вронского Пример: Общее решение данного уравнения записывается в виде: Запишем характеристическое уравнение:
Решение будет иметь вид:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (926)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |