Параболическая регрессия
Рассмотрим построение уравнения регрессии вида . Составление системы нормальных уравнений для нахождения коэффициентов параболической регрессии осуществляется аналогично составлению нормальных уравнений линейной регрессии. После преобразований получаем: . Решая систему нормальных уравнений, получают коэффициенты уравнения регрессии. Далее рассчитывают остаточную дисперсию . , где , а . Уравнение второй степени значимо лучше описывает экспериментальные данные, чем уравнение первой степени, если уменьшение дисперсии по сравнению с дисперсией линейной регрессии является значимым (неслучайным). Значимость различия между и оценивается критерием Фишера: , где число берется по справочным статистическим таблицам (приложение 1) соответственно степеням свободы и выбранного уровня значимости .
Порядок выполнения расчетной работы: 1. Ознакомиться с теоретическим материалом, изложенным в методических указаниях либо в дополнительной литературе. 2. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии . Для этого необходимо вычислить суммы . Удобно сразу вычислить суммы , которые пригодятся для расчета коэффициентов параболического уравнения. 3. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению . 4. Вычислить общую и остаточную дисперсии , , а также критерий Фишера . 5. Рассчитать коэффициенты параболического уравнения регрессии . Учитывая сложность решения системы нормальных уравнений, рекомендуется записать систему нормальных уравнений в матричной форме: , где – матрица, элементами которой являются коэффициенты системы нормальных уравнений; – вектор, элементами которого являются неизвестные коэффициенты; – матрица правых частей системы уравнений. 6. Далее решить эту систему линейных уравнений в среде MathCad. Для этого воспользоваться стандартной функцией для решения системы линейных уравнений . 7. Вычислить расчетные значения выходного параметра по уравнению . 8. Вычислить остаточную дисперсию , а также критерий Фишера . 9. Сделать выводы. 10. Построить графики уравнений регрессии и исходных данных. 11. Оформить расчетную работу. Пример расчета. По экспериментальным данным зависимости плотности водяного пара от температуры получить уравнения регрессии вида и . Провести статистический анализ и сделать вывод о лучшей эмпирической зависимости.
Обработка экспериментальных данных проведена в соответствии с рекомендациями к работе. Расчеты для определения параметров линейного уравнения приведены в таблице 1.
.
Для определения параметров параболической регрессии вначале были определены элементы матрицы коэффициентов и матрицы правых частей системы нормальных уравнений. Затем расчет коэффициентов выполнен в среде MathCad:
Данные расчетов приведены в таблице 2. Обозначения в таблице 2:
.
Выводы Параболическое уравнение значимо лучше описывает экспериментальные данные зависимости плотности пара от температуры, так как расчетное значение критерия Фишера значительно превышает табличное равное 4,39. Следовательно, включение квадратичного члена в полиномиальное уравнение имеет смысл. Полученные результаты представлены в графическом виде (рис.3).
Рисунок 3 – Графическая интерпретация результатов расчета. Пунктирная линия – уравнение линейной регрессии; сплошная линия – параболической регрессии, точки на графике – экспериментальные значения.
Приложение 1 Таблица распределения Фишера при q = 0,05
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2040)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |