Вычисление вероятностей дожития и смерти

Пример 1. Для лица в возрасте 40 лет рассчитайте:

а) вероятность прожить еще один год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить еще два года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих двух лет;

д) вероятность умереть на третьем году жизни в возрасте 43года.

Решение.

Используем для решения выписку из таблицы коммутационных чисел (по общей смертности) по данным переписи 1994г.

Норма доходности-8%

Таблица 1

Возраст, лет	Lх	dх	Коммутационные числа
Dх	Nх	Cх	Mх
			100000,00	1297459,49	1686,11	3891,87
			90906,48	1197459,49	153,46	2205,76
…	...	…	…	…	…	…
			4073,19	45312,28	30,77	716,70
			3740,70	41239,09	30,27	685,93
			3433,34	37498,40	29,85	655,66
			3149,16	34065,06	29,50	625,81
			2886,39	30915,89	29,17	596,31
			2643,42	28029,51	28,83	567,14
			2418,77	25386,09	28,42	538,31
			2211,19	22967,32	27,83	509,89
			2019,57	20756,13	27,03	482,06
			1842,94	18736,56	26,08	455,03
			1680,35	16893,62	24,99	428,95
…	…	…	…	…	…	…
			0,07	0,10	0,03	0,04
			0,03	0,03	0,01	0,01

 

а) Определяем для лица в возрасте 40 лет вероятность прожить еще один год:

gх = dх / Lх ,

Где gх – вероятность смерти при переходе от возраста х к возрасту х+ 1 лет;

dх – число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+ 1 лет,

dх = Lх – Lх + 1

Рх – вероятность дожития лица в возрасте х до возраста (х+ 1) лет;

Рх = Lх + 1

Lх или Рх = 1 – gх

Р40 = L40 + 1

L40

 

Р40 = 87766 = 0,9918 (цифры берем из таблицы 1)

 

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни:

g40 = d40 / L40 = 722 / 88488 = 0,00816;

 

в) вероятность прожить еще два года:

 

2Р40 = L40 + 2 = 86999 = 0,9832

L40 88488

 

г) вероятность умереть в течение предстоящих двух лет:

 

2g40 = L40 –L40 + 2 = 88488 – 86999 = 0,0168

L40 88488

д) вероятность умереть на третьем году жизни:

 

g40 = L40 + 2 – L40 + 3 = 86999– 86182 = 0,0092

L40 88488

 

Вычисление платежей при смешанном страховании жизни

Договоры страхования жизни заключаются обычно на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и моментом осуществления выплат достигает нескольких лет. В течение этого срока за счет инфляции и прибыли , получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения при построении тарифных ставок, применяют методы долгосрочных финансовых исчислений, в частности дисконтирование.

Единовременная ставка предполагает уплату взноса в начале срока страхования, погашая все свои обязательства перед страховщиком.

Годовая ставка предполагает постепенное погашение финансовых обязательств страхователя перед страховщиком 1 раз в год, при этом допускается помесячная рассрочка.

Пример 2. Рассчитайте единовременную брутто- премию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности-8%. Страховая сумма 60 000 руб. доля нагрузки в брутто- ставке – 12%.

Решение.

1)единовременные нетто-ставки для лица в возрасте 45 лет сроком на 3 года:

 

а) на дожитие

 

nЕх = Lх + n × V ×100;

Lх

Где nЕх – единовременные ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования n лет в расчете на 100 руб. страховой суммы;

Lх + n – число лиц, доживающих до возраста х + n (берется из таблицы 1)

Lх – число лиц, подлежащих страхованию (достигших возраста х лет из 100000 родившихся);

V –дисконтный множитель, который определяется по формуле

V =1/(1+i)

n– срок страхования.

 

3Е45 = L48 × V³×100 = 81208 × (1 / 1 + 0,08)³ ×100 = 76,4 руб. со 100 руб.

L45 84379

страховой суммы

 

 

б) на случай смерти

nАх = dх V + dх +1 V² + dх + n –1 V³×100;

Lх

3А45 = d45 V + d46V² + d47 V³×100 =

L45

= 994 × (1 / 1 + 0,08) + 1058 × (1 / 1 + 0,08)² + 1119 × (1 / 1 + 0,08)³ ×100 =3,2 руб.

( со 100 руб. страховой суммы);

 

в) при смешанном страховании жизни нетто- ставка определяется

Тн = nЕх + nАх = 76,4 + 3,22 = 79,62 руб.;

 

2) единовременную брутто-ставку при смешанном страховании жизни определяется

Тб = Тн × 100 = 79,62 ×100 = 90,48 руб. (со 100 руб. страховой суммы);

100 – f 100 – 12

 

3) единовременную брутто-премию

БП = 60000 × 90,48 = 54288