Преобразование энергетических характеристик детерминированных сигналов

Рассмотрим преобразования энергетических характеристик детерминиро­ванных сигналов длительности Т в линейных стационарных системах (каналах). Учитывая определение СПМ (спектральная плотность мощности), можно выразить связь между этими характеристиками на выходе и входе детерминированного линей­ного стационарного канала:

(4.38)

Средние мощности сигналов на входе и выходе системы определяются соотношениями

ФК (функция корреляции) B_x(τ) сигнала x(t) и его СПМ G_x(f) связаны парой преобразований Фурье. Если ввести в рассмотрение ФК для ИХ системы (канала): , то, используя обобщённую формулу Рэлея (2.137) и соотношение (4.8), можно получить

т.е. ФК системной характеристики g(t) и коэффициент передачи системы по мощности K²(f) связаны парой преобразований Фурье. Используя спектраль­ное соотношение (4.38), можно утверждать, что ФК выходного сигнала y(t) оп­ределяется свёрткой ФК входного сигнала x(t) и ФК импульсной характери­стики системы .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ (связь м/у ИХ и передаточной характеристиками)

Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняю­щимися параметрами) связано с решением задач двух типов: определение кор­реляционной функции (спектральной плотности мощности) отклика Y(t) на выходе системы, заданной своими характеристиками, по данной корреляцион­ной функции (или спектральной плотности мощности) входного воздействия X(t); определение многомерного распределения вероятностей отклика Y(t) на выходе системы по многомерному распределению входного воздействия X(t).

Вторая из указанных задач является более общей. Из её решения, очевид­но, может быть получено решение первой задачи. Однако в дальнейшем ограничимся рассмотрением только первой задачи и лишь укажем пути решения второй, более сложной задачи. Так, можно утверждать, что если полоса частот F_x, занимаемая входным случайным процессом X(t), много шире полосы про­пускания ∆F данной линейной системы, то распределение выходного случай­ного процесса Y(t) имеет тенденцию приближаться к гауссовскому.

Действительно, в стационарной детерминированной линейной системе с финитной т.е. ограниченной во времени пределами 0...τ_п ИХ g(t) отклик

(4.39)

Шаг дискретизации ∆τ можно выбрать равным интервалу корреляции входного процесса 1/F_x. Допустим, что входной процесс центрирован ,тогда центрирован и выходной процесс. Узкая полоса пропускания ∆F означа­ет, что длительность импульсной характеристики τ_п велика по сравнению с ∆τ. Сечение выходного процесса Y(t) в любой момент времени t определяется со­гласно (4.39) N слагаемыми суммы. В эту сумму входит много некоррелиро­ванных между собой сечений процесса X(t). Распределение вероятностей такой суммы согласно центральной предельной теореме теории вероятности близко к гауссовскому (тем ближе, чем больше N, определяемое отношением F_X/∆F). В предельном случае, если на вход канала воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна (не совпадающие во времени отсчёты не коррелированы), а канал имеет ограниченную полосу пропускания, то N→∞и выход­ной процесс будет строго гауссовским. Отмеченное свойство линейного канала сохраняется и при изменении параметров канала.

Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно в принципе находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределе­ние входного процесса. Однако определение многомерных вероятностных ха­рактеристик отклика линейных систем оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что для решения этой задачи разработан ряд специ­альных приёмов.

Далее займемся определением функции корреляции выходного процесса. Для стационарных случайных процессов существует пара преобразований Фурье между ФК B_x(τ) и B_y(τ) процессов X(t) и Y(t) и их СПМ G_x(f), G_y(f). Поскольку для стационарной линейной системы и при слу­чайных стационарных воздействиях справедливо соотношение (4.38), то ФК выходного стационарного процесса Y(t)

Можно показать [15], что ФК отклика детерминированной параметриче­ской системы на стационарные входные воздействия X(t) определяется форму­лой

(4.40)

т.е. в данном случае выходной процесс, вообще говоря, нестационарен.

Случайные линейные каналы связи и их характеристики, особенности проводных и радиоканалов, замирания сигналов. Флуктуационные, сосредоточенные и импульсные помехи в канале, их вероятностные характеристики.

Помимо рассмотренных детерминированных преобразований сигнала в от­дельных звеньях канала (в частности, в линии связи или среде распростране­ния волны) имеют место и случайные преобразования сигнала. В простейшем случае это преобразование сводится к суммированию сигнала с независимым от него случайным процессом, называемым аддитивной помехой или аддитив­ным шумом. В более сложных каналах к этому добавляются случайные изме­нения параметров канала, в результате которых даже в отсутствие аддитивных помех принимаемый сигнал не определяется однозначно передаваемым.

Характерные преобразования сигнала в случай­ных линейных каналах (цепях).

Случайный линейный канал. В самом общем виде линейную систему (или линейный канал) можно описать случайной ИХ G(t,τ), имеющей тот же смысл, что. и g(t,τ) в (4.7), но представляющей случайную функцию двух аргументов: t (момента наблюдения реакции) и τ (времени, прошедшего с момента подачи δ-импульса на вход цепи). Такова, например, ИХ любой линейной системы, па­раметры которой подвергаются воздействию случайных внешних влияний, на­пример температуры, давления, влажности и т.д.

Случайный линейный канал можно характеризовать также случайной пере­даточной функцией переменных w и t

(4.41)

Можно показать [15], что функция корреляции процесса Y(t) на выходе случайного канала с характеристикой (4.41) при подаче на вход стационарного процесса X(t) определяется выражением

(4.42)

где - системная характеристика случайного кана­ла. Для детерминированного канала , и из (4.42) следует (4.40).

Остановимся подробнее на моделях, с которыми чаще всего приходится встречаться. Обобщая модель (4.25) для случайного входного воздействия X(t), получаем Y(t)=γX(t-τ), где параметры τ и (или) γ флуктуируют.

Обычно такие флуктуации в проводных линиях связи вызываются измене­ниями внешних условий и происходят чрезвычайно медленно (это значит, что за время длительности отсчёта ого интервала ∆ = 1/2F, где F — ширина спектра сигнала, параметры канала не успевают заметно изменяться) и в очень не­больших относительных пределах. В радиоканалах при многолучевом распро­странении волн, в гидроакустических каналах и других флуктуации выражены более заметно.

Если входной сигнал узкополосный, его удобно представить в квазигармо­нической форме: X(t) =A(t)cos[w_ot+Ф(t)], где A(t) и Ф(t) — медленно меняю­щиеся функции. Поэтому при достаточно малой задержке τ можно в первом приближении считать A(t — т) ≈ A(t) и Ф(t — т) ≈ Ф (f), а выходной сигнал (4.43) записать следующим образом:

(4.44)

где θ = -w_ot - фазовый сдвиг в канале, a — процесс, сопряжённый с X(t) по Гильберту.

Таким образом, при узкополосном сигнале малая задержка сводится к не­которому сдвигу фазы. Важно отметить, что даже при очень малых относи­тельных флуктуациях времени задержки τ фазовый сдвиг θ (из-за больших зна­чений w_o) может изменяться в очень больших пределах. Для этого достаточно выполнения условия ∆_τ >> 1/f₀, где ∆_τ - среднеквадратическое отклонение за­держки, f₀ — средняя частота спектра сигнала. Это условие в радиоканалах обычно выполняется.

Более сложный случай имеет место, когда сигнал проходит по параллель­ным путям от входа Канала к его выходу (рис. 4.2), так что на выходе каждого пути сигнал имеет вид (4.44), но значения γ и τ для разных путей различны и к тому же в небольших пределах флуктуируют. Такого рода мно­гопутевое распространение сигнала характерно для боль­шинства радио-, гидроакусти­ческих и некоторых других ка­налов (в том числе проводных). Энергия волны распространяется обычно в неоднородной среде и испытывает отражение от различных неоднородностей. Эти неоднородности могут быть распределены внутри относительно небольшого отражающего (рассеивающего) объёма. В этом случае разности хода (разности значений τ) для отдельных пу­тей невелики. Если по такому каналу направить очень короткий импульс, то и на его выходе импульс будет довольно коротким. Такой канал принято назы­вать однолучевым. Наличие разных путей ("подлучей", как их часто называют [14]) не вызывает в этом случае существенного рассеяния (растяжения) сигна­ла во времени, но приводит к возникновению явления замираний, которое за­ключается в более или менее быстрых случайных изменениях передаточной функции канала (мультипликативная помеха).

Для пояснения замираний рассмотрим передачу по каналу (см. рис. 4.2) гармонического сигнала с единичной амплитудой u(t) = Re(e^jwt). На выходе сигнал

(4.45)

где L — число путей (подлучей, попадающих в точку приёма); γ_l — коэффици­ент передачи по l-му подлучу; τ_l— время распространения l-го подлуча;

— комплексный коэффициент передачи по l-му лучу; — комплексная амплитуда выходного сигнала, которая в данном случае по оп­ределению равна передаточной функции канала.

Передаточная функция в общем случае зависит от частоты. Если учесть, что вследствие хаотических перемещений отражателей значения γ_l и τ_l флук­туируют, то зависит также от времени, представляя собой случайную функ­цию (мультипликативную помеху) . Во многих случаях эта функция флуктуирует значительно быстрее, чем величины γ_l и τ_l.

Важной характеристикой канала с замираниями является распределение вероятностей комплексной передаточной функции и в первую очередь её модуля . Для определения этого распределения представим в следующем виде: , где и θ - соответственно модуль и аргумент передаточной функции, ко­торые также являются случайными функциями t и w, a X = γcosθ и Y= γsinθ— квадратурные составляющие.

С другой стороны, согласно (4.45)

Откуда

Поскольку X и Y образуются в результате сложения большого числа слабо коррелированных величин с ограниченными дисперсиями, к ним обычно можно применить центральную предельную теорему теории вероятности и счи­тать их нормально распределёнными.

Для случая, когда все γ_l одного порядка и фазовые сдвиги достаточно ве­лики, легко показать, что X и Y имеют одинаковые дисперсии , а их математические ожидания m_х = m_у = 0. Здесь одномерное распределение веро­ятности γ является рэлеевским: .

Это доказывается так же, как в § 2.6. Фаза результирующего сигнала θ при этом распределена равномерно на интервале (-π,+π) . Дисперсия квадратурных составляющих σ² равна средней мощности приходящего сигнала. Такие зами­рания, как и каналы, в которых они проявляются, называются рэлеевскими.

Во многих каналах замирания отличаются от рэлеевских. Иногда в одном из подлучей коэффициент передачи γ_l, значительно больше, чем в других, и можно сказать, что помимо диффузно отражённых подлучей в место приёма приходит и регулярный (не замирающий) луч. В этом случае коэффициент пе­редачи канала подчиняется обобщённому распределению Рэлея

Здесь - отношение средних мощностей регулярной и флуктуирующих составляющих.

В общем случае, когда и m_х ≠ 0 и m_у ≠ 0, получается так называемое

четырёхпараметрическое распределение модуля и фазы замирающего сигнала (общая гауссовская модель канала). Соответствующие плотности вероятности даны в [14].

Если по однолучевому каналу с замираниями передаётся относительно уз­кополосный сигнал, а среднеквадратическое отклонение запаздывания ∆τ в от­дельных подлучах удовлетворяет условию

∆τ<<1/F_c (4.46)

где F_c — ширина спектра сигнала, то изменения начальных фаз на разных час­тотах со в спектре сигнала, равные w∆τ, почти одинаковы. При этом все состав­ляющие спектра сигнала замирают "дружно", т.е. их амплитуды и фазы изме­няются одинаково. Такие замирания называются общими или гладкими¹(Заметим, что условие (4.46) может выполниться при ∆τ>>1/F_c , т.к. в радиоканалах f₀ >>F_c). Ес­ли же условие (4.46) не выполнено, то в разных областях спектра сигнала про­цессы замираний не совпадают (селективные по частоте замирания). При этом наблюдаются существенные изменения формы сигнала, что характерно для многолучевых каналов радиосвязи (приходящие в точку приёма сигналы образованы отражением от сильно разнесённых в пространстве рассеивающих объ­ёмов).

Быстрота изменений во времени комплексного случайного процесса (при фиксированной частоте) или, как говорят, скорость замираний сигнала характеризуется временем корреляции τ_кор квадратурных компонент X(t, w) и Y(t, w) или шириной спектра замираний