Указания к выполнению

Работа 4. Обработка результатов однофакторного эксперимента в среде MATLAB. Подгонка кривых.

Теоретические основы.

 

Обработка результатов однофакторного эксперимента включает 3 этапа:

1. Выбор вида аппроксимирующей зависимости.
2. Расчет коэффициентов аппроксимирующей зависимости.
3. Проверку адекватности полученной зависимости экспериментальным данным.

Наиболее совершенным программным средством для решения данной задачи является пакет программ MATLAB. MATLAB является средой разработки программ обработки данных и, одновременно, содержит большое количество готовых программ, в частности, программу подгонки кривых CurveFitting.

Программа подгонки кривых CurveFitting предоставляет следующие виды функций для аппроксимации и интерполяции одномерных массивов данных:

а) экспоненциальную;

 

 

 

б)гауссиан

в)Фурье

г)полиномиальную;

 

д)показательную;

 

е)рациональную.

 

Критерием качества подгонки являются вычисляемые программой коэффициенты множественной детерминации (R-square и Adjusted R-square). Коэффициент R-square показывает насколько успешно разброс данных относительно аппроксимирующей кривой может быть объяснен наличием случайных погрешностей в данных. Максимально возможное значение R-square равно 1.

Коэффициент Adjusted R-square характеризует то же самое, но учитывает количество степеней свободы дисперсий воспроизводимости и адекватности. Поэтому Adjusted R-square лучше характеризует степень соответствия экспериментальных данных аппроксимирующей кривой в том случае, если мы увеличиваем степень аппроксимирующего полинома и хотим проверить, происходит ли при этом улучшение качества подгонки. Максимально возможное значение Adjusted R-square также равно 1.

 

 

SSE – sum square error

SST – sum square total,

- коэффициент, выравнивающий степень разброса данных в

опытах

 

n- количество результатов измерений;

m – количество членов в уравнении регрессии;

n-1 – количество степеней свободы дисперсии SSE;

n-m - количество степеней свободы дисперсии SST.

 

 

Программа работы.

 

1. Освоить технологию работы с программой CurveFitting пакета . MATLAB.
2. Научиться производить обоснованный выбор наилучшей аппроксимирующей зависимости из возможных.

 

Указания к выполнению.

 

1. При выполнении п.1. Программы изучить теоретические основы подгонки кривых, положенные в основу программы Curve Fitting и описание библиотеки аппроксимирующих функций Fitting Library в MATLAB Help: CurveFittingToolbox/FittingData/ParametricFitting (Library Models, Custom Equations, Evaluation of goodness of Fitting и др.).
2. При выполнении п.2 выполнить подгонку кривых, выбрать наилучшую функциональную зависимость и обосновать сделанный выбор для зашумленного массива данных: файл censuN.mat) в папке Е:\DSP_LAB_2012\Lab_4_MATLAB.
3. При работе с программой CurveFitting подгонку кривых производить в следующей последовательности:

а) Запустить MATLAB.

б) открыть окно Workspace (View/Workspace) и загрузить в это окно mat-файл данных по заданию преподавателя (census.mat, censu1.mat, censu2.mat и т.д.)

в)открыть панель CurveFitting для чего выбрать Start/ Toolboxes/ CurveFitting в окне MATLAB;

г) на панели CurveFittingTool активизировать кнопку Data. В окнах Xdata, Ydata станут доступными составляющие cdate (X) и pop (Y) из файла census.mat;

д) произвести выбор cdate и pop, затем активизировать кнопку CreateDataSet;

е) активизировать кнопку Fitting;

ж) выбрать вид аппроксимирующей функции и активизировать кнопку Apply;

Результаты аппроксимации будут представлены в графической форме в окне графического вывода на панели CurveFittingTool (рис.1) и в численной форме в окне Results на панели Tables of Fits (рис. 2).

Рис. 1.

 

 

Рис. 2

з)выбрать пункт меню View/Residuals/Line или View/Residuals/Scatter. В результате в окне графического вывода на панели CurveFittingTool будут одновременно выведен график ошибки интерполяции (см. пример на рис. 3). Окно графического вывода можно вывести на печать или выполнить в виде рисунка: File/Print to Figure.

Полученные в процессе аппроксимации результаты занести в таблицу:

 

Вид модели	Порядок модели	Качество подгонки (+ / -)	Диапазон погрешностей	R-square	Adjusted R-square	RMSE

 

Исследовать таким образом все возможные виды моделей, порядок модели - до 5.

 

е) по полученным и отраженным в таблице данным выбрать три наилучшие варианта аппроксимирующих функций. Для этих вариантов получить значения график аппроксимирующей функции и график погрешности аппроксимации, аналитические выражения с численными значениями коэффициентов для аппроксимирующей зависимости.

4. Оценку качества подгонки кривых и окончательный выбор аппроксимирующей зависимости производить последовательно:

1. Выбор «хороших» моделей.

1.1.Визуально, по степени согласованности графика полученной в результате подгонки аппроксимирующей кривой с отображенными в этом же окне графического вывода значениями y_i . Качество подгонки считается удовлетворительным, если значения y_i «вытянуты» вдоль аппроксимирующей кривой. На рис.3 приведены результаты подгонки, которые можно считать неудовлетворительными (А) и удовлетворительными (Б).

А

Б

Рис. 3.

1.2. Визуально, по графику разности между значениями y_i и вычисленными по аппроксимирующей функции значениями f(x_i). Качество подгонки считается удовлетворительным, если график разности хорошо аппроксимируется «на глаз» функцией у=0. На рис.4 приведены результаты подгонки, которые можно считать неудовлетворительными (А) и удовлетворительными (Б).

А

 

 

Б

 

Рис. 4.

 

2. Выбор лучшей кривой в каждом классе аппроксимирующих зависимостей – по Adjusted R-square. Лучшей кривой в классе является та, которой соответствует максимальное значение Adjusted R-square. Если максимальное значение соответствует двум или более кривым – выбирается кривая с наиболее простым аналитическим описанием.

 

 

3. Окончательный выбор самой лучшей аппроксимирующей зависимости – выбрать самую простую модель из лучших с условием примерно тех же значений диапазона погрешностей экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой и RMSE (Root Mean Squared Error).

 

Содержание отчета.

1. Постановка задачи.
2. Результаты аппроксимации экспериментальных данных из файла census.mat и censusN.mat и показатели качества подгонки R-square и Ajusted R-square для всех основных классов аппроксимирующих функций (экспоненциальной, гауссиана, показательной, Фурье, полиномиальной, показательной, рациональной) в форме таблицы результатов.
3. Для трех наиболее подходящих аппроксимирующих зависимостей - график аппроксимирующей функции и график погрешности аппроксимации, аналитические выражения для аппроксимирующей зависимости.
4. Обоснование выбора наилучшей аппроксимирующей зависимости.
5. Выводы.