Теорема сложения вероятностей

Основные понятия теории вероятности. Эксперимент и его пространство элементарных событий.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события). Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

Экспериментом или испытанием называется осуществление какого-либо комплекса условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз. Примеры эксперимента: подбрасывание монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды.

Явления, происходящие при реализации этого комплекса условий, то есть в результате эксперимента, называются элементарными событиями.

Множество всех элементарных событий эксперимента называется пространством элементарных исходов (W).

Если пространство элементарных событий содержит n элементарных исходов, то:

W=(w1, w2 ,..., wn).

Классификация событий. Действия над событиями.

Событие называется достоверным (Е), если оно обязательно наступает при некоторых данных условиях. Если при данных условиях событие никогда не наступает, оно называется невозможным (Ø).Случайным ( А,В,С,…) называется такое событие, которое в результате опыта может наступить и не наступить.

Если появление одного события исключает появление другого, то они называются несовместными, в противном случае два события называются совместными.

Классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности, статистическое определение вероятности.

Классической вероятностью события A называется отношение числа m благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n:

Геометрической вероятностью события Aназывается отношение n-мерного объема области, благоприятствующей появлению события, к n-мерному объему всей области:

Статистической вероятностью события Аназывается относительная частота появления этого события в произведенных испытаниях, т. е.:

где,

- статистическая вероятность события А;

w(A) - относительная частота наступления события А;

m - число испытаний, в которых появилось событие А;

n - общее число испытаний.

Элементы комбинаторики (принцип перестановки, размещения, сочетания).

Комбинаторика –это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Всякое упорядоченное конечное множество называется перестановкой, образованной из его элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через Pn:

Размещением из n элементов по k называется всякая упорядоченная часть множества a1, a2 , a3,..., an, содержащая k элементов. Число размещений из n элементов по k обозначают через :

Сочетанием из n элементов, взятых по k , называется всякая часть множества a1, a2 , a3,..., an, содержащая k элементов. Число всех сочетаний из n элементов по k обозначают через :

Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий: P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) для любых событий A и B.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: если AB =Ø, то P (A + B) = P (A) + P (B).

6) Зависимые и независимые события. Умножение вероятностей.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность появления события A зависит от того, произошло или не произошло событие B.

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Вероятность того, что произошло событие A при условии, что произошло событие B, называют условной вероятностью события Aпри условии B, обозначают P(A/ B).

Теорема умножения вероятностей.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятностьдругого, найденную в предположении, что первое событие уже произошло, т.е.:

P (AB) = P (B) P (A / B)

или

P (AB) = P (A) P (B/ A)