Определение предела функции
Методические указания к проведению лекционного занятия Темы № 2.4. – 2.5. Предел функции. Непрерывность План: 1. Определение предела функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3. Замечательные пределы. 4. Сравнение бесконечно малых. 5. Непрерывность функции. 6. Классификация точек разрыва. 7. Свойства непрерывных функций.
Определение предела функции Пусть функция определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки x0. Опр.: Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x0(или, что тоже самое, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A. Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Опр.: Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x0, если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих неравенству êx – x0 ê < d, выполняется условие êy – Aê < e. Обозначается предел: , или при . С помощью кванторов всеобщности (для любого) и существования (существует) определение предела функции в точке имеет вид: . Геометрический смысл предела функции в точке x0 заключается в следующем: для любого e > 0 найдётся такая d-окрестность точки x0, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции y попадают в полосу e - A < y < A + e . Рис.1. Графическая иллюстрация определения предела функции при Опр.: Число A называется правым пределом функции y = f (x) в точке x0, если для любого e > 0 существует такое число d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам x0 < x < x0+ d, выполняется условие êy – Aê < e. Обозначается: , или при + 0. Опр.: Число A называется левым пределом функции y = f (x) в точке x0, если для любого e > 0 существует такое число d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам x0 - d < x < x0, выполняется условие êy – Aê < e. Обозначается: , или при - 0.
Теорема. Функция y = f (x) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в точке x0 существуют равные друг другу правый и левый пределы. При этом предел функции равен односторонним пределам.
Свойства пределов: Пусть функции и имеют конечные пределы в точке x0, причем , , тогда 1) ; 2) ; 3) , где С – постоянная величина; 4) , если ; 5) если и , то .
Опр.: Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого e > 0 существует такое положительное число S, что для всех x, удовлетворяющих условию êx ê > S, выполняется условие êy – Aê < e, т.е. .
Геометрический смысл предела функции при x, стремящемся к бесконечности: для любого e > 0 найдётся такое число S > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию êx ê > S, соответствующие значения функции y попадают в полосу e - A < y < A + e (рис.). Рис.2. Графическая иллюстрация предела функции при
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (557)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |