Степень числа с иррациональным показателем

Тема 3.1. Степень с действительным показателем и ее свойства. Преобразование и вычисление показательных выражений. (4 часа)

Степень числа с целым показателем.

Вспомним свойства степеней. Для любых чисел и любых целых чисел выполнены равенства:

Выражение имеет смысл при всех целых и любых значениях , кроме и .

Пример 1.а) выражения и т.д. определены.

б) выражения не имеют смысла.

Степень с рациональным показателем.

Определение.Степенью числа с рациональным показательным (где - целое число, - натуральное ) называется число , т.е. . При этом степень числа определена только для положительных показателей, т.е. для любого .

Пример 2 .По определению степени с рациональным показателем и свойствам корней получаем: .

Замечания:

1) Для любого и любого рационального числа число .

2)По основному свойству дробей рациональное число можно записать в виде для любого натурального . Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, т.к. .

3) При рациональная степень числа не определена. Поясним на примере. Рассмотрим . С другой стороны, , и тогда . Получаем противоречие.

Для приведенного определения степени с рациональным показателем выполняются все приведенные ранее основные свойства степеней, но только для положительных оснований.

Итак, для любых рациональных чисел и и любых положительных чисел и справедливы равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

6) если , то , при и при ;

7) если , то при и при .

Степень числа с иррациональным показателем.

Определим теперь степень числа с иррациональным показателем, и тогда степень числа будет определена для произвольного действительного показателя.

Пример 3 . Обсудим, что понимается под числом . Число является иррациональным числом и может представлено в виде бесконечной десятичной дроби:

где и - цифры целой и дробной части числа соответственно. Очевидно, что , где рациональное приближение числа с избытком - рациональное приближение числа с недостатком.

Для значащих цифр разница между приближением с избытком и приближением с недостатком составляет величину и уменьшается с увеличением числа значащих цифр. Это позволяет оценить иррациональное число сколь угодно точно рациональными числами .

Так как понятие степени с рациональным показателем было уже введено, то число удовлетворяет неравенству: .

С увеличением число может быть оценено сколь угодно точночислами . При больших можно считать , что , что и считается степенью числа с иррациональным показателем.

Определение.Степенью числа положительного числа с иррациональным показателем называется предел числовой последовательности степеней этого числа с рациональными показателями являющимися – значными приближениями числа по недостатку или избытку: .

После введенного определениястепень числа с произвольным действительным показателем определена.

Пример 4 .

Контрольные вопросы

1. Дать определение степени числа с рациональным показателем.

2. В каком случае определена степень числа 0?

3. Перечислите основные свойства степеней.

4. Поясните понятие степени с иррациональным показателем.