Пример выполнения работы. Найти наименьший положительный корень уравнения
Найти наименьший положительный корень уравнения . 1. Область определения функции ее производные 2. Строим графики функций: находим точки пересечения графиков. Из рис. 2.6 видно, что наименьший положительный корень данного уравнения лежит внутри отрезка . Проверим аналитически, что корень отделен на этом отрезке. Вычисляем: Поскольку и функция непрерывна, то в силу теоремы 1 внутри отрезка имеются корни. Поскольку и для всех , следовательно для всех , т. е. функция возрастающая на . Поэтому на основании теоремы 2 внутри этого отрезка имеется один корень уравнения и он может быть взят в качестве начального. Рис. 2.6. Графики функций и
3. С помощью микрокалькулятора делаем 3 шага методом половинного деления; результаты заносим в табл. 2.2. Таблица 2.2 Уточнение начального отрезка методом половинного деления
В результате получаем: уточненный отрезок [1,125; 1,250]; приближенное значение корня ; погрешность корня равной . При этом были введены следующие дополнительные обозначения: . Дальнейшее уточнение корня проводим комбинированным методом. Так как , то левый конец отрезка [1,125; 1,250] уточняем методом хорд, а правый – методом Ньютона. Поэтому используем формулы (2.13). Результаты вычислений заносим в табл. 2.3. Таблица 2.3 Уточнение корня комбинированным методом
Так как , вычисления прекращаем на втором шаге. Находим корень уравнения 4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab2.mcd. Вводим функцию Строим график функции на найденном начальном интервале [0,5;1,5] (рис. 2.7)
Рис. 2.7. График функции f(x)
Характеристики графика свидетельствуют, что функция непрерывна, и существуют и знакопостоянны на этом отрезке (т. е. функция монотонна и не меняет направление выпуклости) и что корень уравнения лежит в интервале [0,5;1,5], причем единственный. Таким образом, можем применить все вышеперечисленные методы. После этого находим корень с точностью до с помощью встроенной функции системы Mathcad 5. Выписываем точное решение и сравниваем полученные результаты ручного и машинного счета. Определяем погрешность: 6. Определяем с помощью компьютера значение корня методом половинного деления с точностью . По формуле, чтобы удовлетворить погрешности , для начального отрезка единичной длины необходимо провести шагов. Выписываем автоматически вычисленное по этой формуле в соответствующем разделе количество шагов и таблицу 2.4, содержащую первые и последние три шага получившейся матрицы приближений корня методом половинного деления. Таблица 2.4 Отыскание корня методом половинного деления
Получим корень , абсолютная погрешность которого . 7. Получим на компьютере значение корня методом Ньютона с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.7) определяем погрешность . Следовательно, увеличивая N на единицу, вводим в программу и получаем . То есть требуемая точность достигнута (если это не так продолжаем увеличивать N на единицу). . Выписываем получившуюся таблицу 2.5 для . Таблица 2.5 Отыскание корня методом Ньютона
Получим приближенный корень , абсолютная погрешность которого . 8. Вычисляем на компьютере значение корня методом хорд с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и с помощью запрограммированной формулы (2.10) получим и оценим погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу, вводим , для которого . Увеличиваем N еще на единицу, вводим , для которого . Т. е. требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу). Выписываем первые и последние два шага из получившейся таблицы для .
Таблица 2.6 Отыскание корня методом хорд
Получим корень , абсолютная погрешность которого . 9. Вычисляем на компьютере значение корня комбинированным методом с точностью . Для этого вводим в начале соответсвующего раздела и получаем по формуле (2.13) погрешность . Следовательно, увеличиваем N на единицу и вводим , для которого . То есть требуемая точность достигнута (если это не так, продолжаем увеличивать N на единицу). Выписываем получившуюся таблицу 2.7 для .
Таблица 2.7 Отыскание корня комбинированным методом
Получим корень , абсолютная погрешность которого . 10. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе. Вопросы для самоконтроля
1. Уравнение какого типа решается в данной работе? 2. Что называется корнем уравнения ? 3. Как графически решить уравнения ? 4. Перечислите достоинства и недостатки графического метода. 5. В чем состоит этап отделения корней уравнения ? 6. Сколько корней должна иметь функция на начальном отрезке ? 7. Как определить аналитически: возрастает или убывает функция на промежутке? 8. Как определить аналитически: выпукла или вогнута функция на промежутке? 9. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие хотя бы одного корня уравнения на начальном отрезке ? 10. Какие условия, наложенные на , гарантируют наличие не более одного корня уравнения на начальном отрезке ? 11. Привести алгоритм решения уравнения методом половинного деления. Какие условия при этом должны быть наложены на функцию ? 12. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом Ньютона? 13. Как выбирается начальная точка в методе Ньютона? 14. Вывести формулу для вычисления последовательных приближений методом Ньютона, записать формулу оценки погрешности. 15. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить методом хорд? 16. Как выбирается начальная точка в методе хорд? 17. Вывести формулу для вычисления n последовательных приближений методом хорд, записать формулу оценки погрешности. 18. Какие условия должны быть наложены на , чтобы уравнение можно было решить комбинированным методом? 19. Выписать формулы, по которым уточняются концы начального отрезка комбинированным методом. В зависимости от каких условий осуществляется выбор формул? 20. Указать условие, по которому процесс уточнения отрезка комбинированным методом должен быть прерван? Как затем найти корень?
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1367)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |