Т.к. ряд содержит бесконечное число членов, то можно составить последовательность частичных сумм

Если сущ. Конечный предел послед-ти(S ) частичных сумм S=lim S , то этот предел назыв. суммой ряда, а ряд 1 назыв. сходящимся, если сущ. Предел S= a ,a ..a =

Если предел послед-ти частичных сумм(S ) не сущ. или равен бесконечности, то говорят, что ряд суммы не имеет или явл.расходящимся.

30. Понятие числового ряда…:пусть задана посл-ть чисел a₁,a₂,a₃,..,a_n,... .Выражение a₁+a₂+a₃+...+a_n+…+= _n (1) наз-ся числовым рядом. Числа a₁,a₂,a₃,.. наз членами ряда. a₁-1-й член ряда,a₂-2-й и т.д.Член a_n ряда,стоящий на n-м месте,наз n-м членом ряда или общим.Если задан ряд,то можно сост посл-ть сумм: S₁=a₁,S₂=a₁+a₂,S₃=a₁+a₂+a₃,….,S_n=a₁+a₂+a₃+a_n, кот наз частичными или частными суммами.Сумма 1-х n членов ряда S_n=a₁+a₂+...+a_n наз n-й частичной суммой.Если посл-ть частичных су-м n им конеч предел S,т.е. =S,то ряд наз сход-ся,а число S сумм-й ряда и пишут _n=S, в против случ ряд наз расх-ся.Числовой ряд a_n+1+a_n+2+....+a_n+k+...= _n+k,полу-й из ряда (1) отбрасыванием 1-х n членов,наз оста-м ряда (1) после n-го члена или n-м чл ряда.Для того,чтоб посл-ть b_n б геоме-й прогресс-й,надо и ДОС-но,чтоб для люб n>1 выпо-сь рав-во b²_n=b_n-1b_n+1.Сумма n 1-х чл прогр-и S_n=b₁ ,если q≠1; S_n=nb₁, если q=1;S= ,если |q|<1.

31.Простей-е св-ва сходящ рядов:1. _n (1) если этот ряд сход и им S,то ряд _n (2) тоже сход и им сумму (cS) 2.если ряды _n, _n сход и им соот-о S и S^*,то ряд _n±b_n тоже сход и им сумму S±S^* 3.схо-ть(рас-ть) ряда не измен,если прибав или отброс люб конеч число членов от его начала : (3) a₁+a₂+a₃+...+a_n+a_n+1+… (4)a_n+1+a_n+2+….Эти ряды сход или расход однов-о для люб фикси-го n. Опр: сумма ряда (4)-ост-к ряда (3) и обоз-ся R_n=a_n+1+a_n+2+… 4.сумму схо-ся ряда м пред-ть в виде суммы:частичн суммы ряда и его ост-ка. 5.если ряд (3) сход,то его ост-к после n-го члена стремит-ся к 0 (R_n 0). Нео-й приз сх-ти рядов.Т-ма:если ряд a₁+a₂+...+a_n +(1) сход-ся, то его n-й член стрем к 0 при n ,т.е. _n=0.Сле-е из т-мы:если n-й член ряда не стре-ся к 0 при n ,,т.е. _n≠0,то ряд (1) расход. Заме-е:условие _n=0 явл необ-м,но недоста-м,т.е. из выпол-я дан усл невсегда сле-т схо-ть ряда.

32.Интегр-й пр сх-ти:Т-ма:пусть дан полн ряд (1),выполн-ся усл a₁ a_{2 ….} a_n ….Дана непрерыв невозра-я неположит ф-я f(x),заданная для x 1,и такая,что f(n)=a_n. Тогда:1.если несобств интеграл схо-ся,то сход и ряд (1) 2.если этот несобств интег-л рас-ся,то расход и ряд (1). Док-во:1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке 2. Площадь большей фигуры равна S_b=f(1)+f(2)+....+f(n-1) 3. Площадь меньшей фигуры равна S_s=f(2)+f(3)+...+f(n) 4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна S_tr= 5.получаем S_s S_tr S_b S_n-a₁ S_n-1 6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Признак сравнения для положительных рядов. Признак Даламбера и Коши.

Признак сравнения: Пусть даны 2 положительных ряда (1) и (2)

Если для всех номеров n выполняется неравенство , то:

Из сходимости ряда 2 следует сходимость ряда 1, т.е. из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.