Теоретический материал к разделу
Решение типовых задач
Задача №1.Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение: Данное уравнение перепишем в виде: , далее это дифференциальное уравнение ( в дальнейшем ДУ) первого порядка с разделяющимися переменными, т.е. или . Ответ: - общий интеграл данного ДУ. Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение: Данное уравнение является ДУ первого порядка, однородным, т.к. его можно привести к виду и однородная функция нулевого измерения и, сделав замену переменных , привести к виду , далее вычисляя интеграл в левой части, найти ответ. У нас ; ; . Окончательно: Ответ: - общий интеграл ДУ.
Задача №3.Найти общий интеграл дифференциального уравнения . Решение: Данное ДУ первого порядка, приводящиеся к однородному. Сделаем замену переменных , выбераем при этом так, чтобы а уравнение примет вид: - однородное, первого порядка. Применим замену переменых . Из урвнений замены , подставляя в общий интеграл ДУ получим: Ответ: Задача №4. Найти решение задачи Коши , . Решение: Данное ДУ является линейным неоднородным ДУ первого порядка. Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решим ДУ однородное, т.е. . Это всегда ДУ с разделяющимися переменными - общие решение однородного линейного ДУ. в таком виде будем искать общее решение неоднородного ДУ, где - неизвестная функция, Подставляем и у в исходное ДУ, будем иметь; Найдем частное решение, используя начальные условия . Итак, задача Коши решена : найдено частное решение, ДУ, отвечающее начальному условию Ответ: Задача №5.Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Перепишем данное ДУ в виде или - это линейное ДУ первого порядка, неоднородное относительно искомой функции , а – независимая переменная. Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем однородное уравнение ( постоянная величина) общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного ищим в виде , . Подставим два последних выражения в неоднородное уравнение, получим: Отдельно вычислим интеграл Преобразуем так : . Тогда .Интегрируем далее по частям: Получили уравнение относительно искомого интеграла . Откуда Итак, , преобразуем Наконец, . Следовательно, общее решение исходного ДУ будет иметь вид: или Ответ : Задача №6. Найти решение задачи Коши , Решение:Перепишем данное ДУ в виде это уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли: Решим задачу Коши:
Ответ: - частное решение исходного ДУ, удовлетворяющего начальному условию
Задача №7.Найти общий итеграл дифференциального уравнения Решение: Данное ДУ перепишем в виде Проверим, является ли это ДУ в полных дифференциалах. У нас ; ; ; ; так как данное ДУ является ДУ первого порядка, в полных дифференциалах, т.е. имеет вид ,откуда общий интеграл исходного ДУ. Остается найти функцию , чей полный дифференциал стоит в левой части уравнения и , ; с другой стороны, значит , . Наконец, – и общий интеграл имеет вид – , окончательно , . Ответ: общий интеграл Задача №8. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Данное ДУ второго порядка не содержит искомой функций , значит, замена переменных такова: , откуда уравнение принимает вид: или , т.е. становится ДУ I порядка линейным неоднородным, решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала рассмотрим однородное уравнение: всегда с разделяющимися переменными: ищем общее решение неоднородного ДУ в таком же виде, только , т .е. подставляя в неоднородное ДУ, получаем Найдем , выделив сначала целую часть дроби = получим . Тогда Ответ: - общее решение исходного ДУ второго порядка.
Задача №9. Найти решение задачи Коши , , Решение: Данное ДУ II порядка не содержит x, значит, сделаем замену переменных так: , . Подставляя в исходное ДУ, т.е. получим , т.е. ДУ I порядка сразделяющимися переменными и сразу найдем С1, используя начальное условие , . Получим: . Итак ДУ I порядка c разделяющимися переменными: . Найдем С2 , используя Ответ: и являются решениями задачи Коши. Задача №10.Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Данное ДУ III порядка является линейным неоднородным с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид: . Сначала найдем – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному: , его характеристическое уравнение имеет вид : или . Найдем корни этого уравнения: , Следовательно, частные решения однородного уравнения, имеют вид , , , а общее решение однородного уравнения . Т.к. правая часть неоднородного ДУ является многочленом второй степени, то и будем искать как многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами , но надо еще учесть, что – простой корень характеристического уравнения, поэтому выражение нужно умножить на x. Итак, или
Ответ: Задача №11.Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Решаем данное дифференциальное уравнение III порядка линейное неоднородное с постоянными коэффициентами также, как и предыдущее. Сначала имеет характеристическое уравнение , , , , умножение на x вызвано тем, что является простым корнем характеристического уравнения, и число 2 стоит множетелем при x в степени показательной функции . Значит
; Ответ:
Задача №12.Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Данное ДУ II порядка линейное неоднородное с постоянными коэффициентами решаем также как и две предыдущие задачи: Уравнение имеет характеристическое уравнение - корень кратности два.
Задача №13.Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Как и предыдущие три ДУ решаем это уравнение – характеристическое уравнение. , , – его корни . А – многочлен нулевой степени, соответствующий многочлену, стоящему в левой части уравнения, умножен на x, т.к. – простой корень характеристического уравнения.
Ответ: Задача №14. Найти решение задачи Коши , Решение: Данное ДУ решим методом вариации произвольных постоянных. Сначала решаем ДУ однородное: , его характеристическое уравнение , у нас , , значит, , ; Общее решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, только и – искомые функции т.е Для нахождение и составим систему: из и подставим в (2) системы, получим: . Значит Итак, или Найдем С1 и С2 из начальных условий . Следовательно, решением задачи Коши будет частное решение вида Ответ:
7 РЯДЫ
Теоретический материал к разделу 7.1.1 Числовые ряды Определение 1.Для заданной бесконечной последовательности чисел выражение , (1) где числа - члены ряда, называется числовым рядом. Обозначим и назовем частичными суммами ряда. Определение 2. Если существует предел частичной суммы ряда то называется суммой ряда (1). Определение 3. Ряд называется сходящимся, если - конечное число, иначе, т.е. если равен бесконечности или не существует, ряд называется расходящимся. Очевидно, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на ее сходимость. Для сходящихся рядов
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (245)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |