Интервалы возрастания и убывания функции. Исследование на экстремум с помощью первого достаточного условия существования экстремума

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП. КОРОЛЕВА

Кафедра высшей математики

Расчетно-графическая работа

Полное исследование функции

Выполнил: Пугачев Сергей гр. 313

Сдано, дата:

г. Самара

Задание:

1. Указать область определения функции.1

2. Определить чётность-нечетность функции. Указать на особенность графика функции (есть ли симметрия). Найти точки пересечения графика с осями координат.2

3. Найти точки разрыва функции. Указать род точек разрыва. Найти пределы функции при x→+∞, x→-∞.3

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум с помощью первого достаточного условия.4

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.6

6. Исследовать функцию на экстремум с помощью второго достаточного условия.7

7. Записать уравнения асимптот графика функции.8

8. Построить график функции.9

Область определения функции

Функция

. x≠-1. Таким образом, D(y):x (-∞;-1)∩(-1;+∞).

Чётность-нечетность функции. Особенности графика функции

f(-x) = ≠f(x) => f(x) – функция общего вида.

Найдем пересечение графика с осью ox:

y=0; 4x=0; x= ; x=0.

 

Найдем пересечение с осью oy:

y=0; y=0.

 

 

 

3. Точки разрыва функции. Род точек разрыва. Пределы функции при x→+∞, x→-∞

 

 

Односторонние пределы не являются конечными, следовательно, x=-1 - точка разрыва второго рода.

 

Схематично построим график функции в окрестности точки x=-1 и при x→+∞, x→-∞.

 

 

Интервалы возрастания и убывания функции. Исследование на экстремум с помощью первого достаточного условия существования экстремума

 

Для полного исследования функции найдем первую и вторую производные:

Исследуемая функция: . Производные:

y´= ;

y´´= .

 

Таким образом , y´= , y´´= .

Найдем критические точки. По определению:

 

Критической точкой функции y=f(x) называется внутренняя точка области определения, в которой производная f´(x) равна нулю или не существует.

 

В нашем случае производная не существует в точке x=-1. Но эта точка является точкой разрыва и не входит в область определения, поэтому не является критической.

 

Приравняем производную к нулю: y´=

 

Отсюда 4-4x=0; 1-x=0; x=1. Таким образом: x=1 - критическая точка, x= -1 - точка разрыва функции.

 

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВОЗРАСТАНИЯ, УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ: Если на интервале производная f´(x) положительна, то функция y=f(x) возрастает, если отрицательна, то убывает.

 

Знак производной может измениться только в критических точках или в точках разрыва функции.

 

Покажем знаки производной на числовой оси:

 

 

Функция возрастает на интервале: (-1;1].

Функция убывает на интервале: (-∞;-1), (1;+∞).

ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА: Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x1 и дифференцируема в окрестности этой точки. Тогда, если при переходе через точку x1 слева направо производная f´(x) меняет знак: 1) с + на -, то в точке x1 максимум; 2)с – на +, то в точке x1 минимум.   Если производная не меняет знак, то экстремума в этой критической точке нет.

 

В нашем случае: y_max = f(1)=

y_min - не существует.

5. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба

 

Первая производная функции f´(x) позволяет найти интервалы возрастания и убывания функции y=f(x), а также точки экстремума. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба, нужно определить знаки второй производной f´´(x).

 

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВЫПУКЛОСТИ И ВОГНУТОСТИ ГРАФИКА ФУНКЦИИ: Если на интервале вторая производная f´´(x) положительна, то график функции y=f(x) на этом интервале вогнутый. Если на интервале вторая производная f´´(x) отрицательна, то график функции y=f(x) на этом интервале выпуклый. Если вторая производная f´´(x) при переходе через точку c меняет знак, то эта точка является точкой перегиба. При этом в точке с функция должна быть непрерывна. Точка разрыва функции не считается точкой перегиба.

 

Запомнить это правило можно с помощью рисунка. На шарике показан знак второй производной. Условимся считать, что если график выпуклый, то шарик не устойчив на кривой и на нем должен стоять знак минус. Если график вогнутый, то шарик устойчив на кривой и на нем должен стоять знак плюя. Таким образом, условно установим связь между выпуклостью-вогнутостью и знаком второй производной.

 

Для исследуемой функции y´´= .

Знак производной может измениться в точке, где она равна нулю или в точке, где она не существует. В нашем случае уравнение = 0 имеет один корень x=2, следовательно, в точке x=2y´´= 0. Существует y´´ в точке x=-1.

График функции выпуклый на интервале (-∞;-1)∩(-1;+∞). Точка x=-1 на графике функции y=f(x) является точкой разрыва, поэтому не считается точкой перегиба.