Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение
Линейным однородным уравнением n-го порядка называют уравнение вида a – заданные непрерывные функции относительно x, так же коэффициенты уравнения. Частные решения y1=y1(x) , y2=y2(x), …, yn=yn(x) уравнения образуют фундаментальную систему некотором интервале , если всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского . Ø С постоянными коэффициентамит.е. a – заданные действительные числа Общее решение будет y=C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x)=0 y1(x) ,y2(x),…, yn(x) - частные решения уравнения, образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале т.е. всюду отличен от нуля определитель Вронского. Частные решения будем искать в виде y=ekx Подставив в уравнение и преобразовав получим характеристическое уравнение Уравнение имеет n решений. Эти корни будут действительными (простыми или кратными) или комплексными (простыми или кратными). Если комплексное число α+iβ является корнем, то сопряжённое число α -iβ тоже является корнем, так как уравнение имеет действительные коэффициенты. · Каждому простому действительному корню k характеристического уравнения соответствует одно решение ekx исходного уравнения . · Каждому действительному корню k кратности r характеристического уравнения отвечают r решений исходного уравнения вида ekx, xekx, x2ekx, …, xr-1ekx исходного уравнения · Каждой паре комплексно сопряжённых корней k1= α+iβ и k2= α-iβ характеристического уравнения соответствует одна пара частных решений исходного уравнения eαxcosβx и ieαxsinβx · Каждой паре комплексно сопряжённых корней кратности μ k1= α+iβ и k2= α-iβ характеристического уравнения отвечают μ пар решений исходного уравнения 11. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного диф. Уравнения второго порядка.
Общее решение данного уравнения представляется в виде суммы какого-либо частного решения y*=y*(x) этого уравнения и и общего решения соответствующего однородного уравнения т.е. y= y*+ или y= y*(x) +C1y1(x)+C2y2(x) Для доказательства нужно два факта: 1) Сумма y*+ удовлетворяет исходному уравнению при любых значениях входящих в него постоянных С1 и С2. Подставляя данную сумму в исходное уравнение получим но - общее решение соответствующего однородного уравнения следовательно вторая скобка обращается нуль, а первая скобка равна f(x). Таким образом получаем тождество, что означает данная сумма удовлетворяет исходному уравнению. 2) Для любых начальных условий можно подобрать такие значения постоянных С1 и С2 , при которых функция y= y*(x) +C1y1(x)+C2y2(x) будет удовлетворять этим начальным условиям. Через определитель Вронского начальных условий 12. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка. y*= C1(x)y1 +C2(x)y2 , где C1(x) и C2(x) – новые искомые функции. Одну из них можно выбрать произвольно или наложить на неё дополнительные требования, а вторую выбрать так чтобы функция y*= C1(x)y1 +C2(x)y2 была решением неоднородного уравнения. Возьмём производную и получим возьмём что Тогда . Возьмём ещё раз производную и представим представим что y* решение неоднородного уравнения т.е. Но поскольку y1 и y2 – решения однородного уравнения суммы в скобках обращаются нуль получаем запишем вместе с и получим систему двух линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных : Решив систему найдём , . Интегрируя получим: , ,где и - произвольные постоянные, которые примем равные нулю. Подставляя найденное в y*= C1(x)y1 +C2(x)y2 получим искомое частное решение неоднородного уравнения y*= y1 + y2
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1175)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |