Функции двух переменных
12 Приращение функции
при В этом случае дифференциал функции в точке : - частные производные, вычисленные в точке .
1. Если то 2. Если то:
3. Пределы и непрерывность Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы , предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует. Функция имеет пределом число A при стремлении переменных , соответственно, к , если для каждого число найдется такое число , что , то есть . Функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению . Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. 4. Частное и полное приращение функции. Полное приращение функции
Частное приращение функции
Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. Пример.z=xy.
5.
Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z'x=f'x(х,у) и z'y=f'y(х,у). В этом случае уравнение z=f(х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const. В сечении этой плоскостью поверхности z=f(х,у) получится некоторая линия l1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z. Частная производная z'x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L1 к кривой l1, получающейся в сечении поверхности z=f(х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z'x= tgα. В сечении же поверхности z=f(х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l2, вдоль которой изменяются лишь величины у и z. Тогда частная производная z'y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу, касательной L2 к указанной линии l2пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z'x= tgβ. 6. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде. Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме: где функции и определены и непрерывны в некоторой области . Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольника MKN KN = MNtgf = D xtg f = f'(x)D x, то есть dy = KN. Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x. 7. Рассмотрим для примера функцию от двух переменных, которую будем предполагать дифференцируемой. Мы хотим вычислить эту функцию в точке , где , , Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечных десятичных дробей , . Таким образом, имеют место приближенные равенства с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам . Подставив в функцию вместо соответственно , получим приближенное равенство с абсолютной погрешностью , которую при достаточно малых можно приближенно заменить дифференциалом функции в точке : . Отсюда получаем неравенство . (1) На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем . Обратим внимание на тот факт, что конечные десятичные дроби при уменьшении , становятся все более и более громоздкими. Поэтому при вычислении числа мы должны беспокоиться не только о том, чтобы оно приближало должным образом, но и чтобы производимые при этом вычисления совершались возможно, экономно. В силу этого замечания из неравенства (1) следует, что если нужно, чтобы абсолютная погрешность не превышала данную малую величину, которую мы обозначим через , то этого мы достигнем, взяв числа , такими, чтобы выполнялись неравенства , (2) т. е. чтобы погрешность распределялась между слагаемыми в правой части неравенства (1) поровну. Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве , (на самом деле , ) взять наибольшие возможные числа, удовлетворяющие этим неравенствам.
12
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (640)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |