Основные свойства корней

Корень n-й степени, его свойства.

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число , n-я степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

,

где n- показатель корня,

а- подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается √, арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем о обозначается

Например :

а) и 2≥0;

б) и 3≥0;

в)

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четом n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно, например: арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 ( при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно).

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Например:

 

Уравнение хⁿ=а.

Уравнение хⁿ=а при нечетном n имеет единственное решение х= .

Например : х³=-125;

х= ;

х=- ;

х=-5.

Для наглядности сделаем проверку:

(-5)³=-125;

-125=-125- верно.

Ответ : х=-5.

Уравнение хⁿ=а при четном n имеет и положительном а имеет два корня

х=± .

Например:

х⁴=16;

х₁= ; х₂=- ;

х₁=2; х₂=-2.

Можно убедиться при проверке, что 2⁴=16 и (-2)⁴=16.

Ответ : ±2.

Иногда нужно применить такое свойство арифметического корня n-й степени:

|х|, если n четно;

х, если n нечетно.

х, если х≥0;

Вспомним, что |х|= -х, если х<0.

Например :

.

Так как <0, следовательно

.

Основные свойства корней.

Для арифметического корня n-й степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня.

Например :

2 .

Из примера видно, что для внесения множителя под знак корня n-й степени его нужно

возвести в n-ю степень. Нужно помнить, что под знак с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель, например:

Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня , например:

а)

б)

в)

 

формулой n-го члена ап: a_n= a₁+ d · (n - 1)

формулой n-го члена гп:

, , если .

Функции y=kx (где k - любое натуральное число). Прямая пропорциональность, график прямая.
Свойства:
область определения - R
область значений - R
нечетная
при к >0 функция возрастает, при к <0 –убывает

 

 

Корень квадратного уравнения (формула)

Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) находят по формуле . Выражение D = b2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные корни (или корень) тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Если , можно применить формулу .

если просто уравнений, а не систем, то алгоритм прост: 1. неизвестные влево, сложить коэфициенты; числа вправо, также сложить (с учетом знака конечно) 2. разделить правую часть на коэфициент при неизвестном 2прим. если коеф.=0 и справа 0 -- любое число есть решение уравнения если коеф.=0 а справа не 0 -- уравнение решения не имеет