Алгоритм метода искусственного базиса

Приводим Подготовительный этап

задачу ЛП к каноническому виду

 

F=a0,1x1+a0,2x2+...a0,nxn +b0 → max

 

a1,1x1+a1,2x2+...a1,nxn+xn+1=b1

 

a2,1x1+a2,2x2+...a2,nxn+xn+2=b2

 

.........................................

 

ai,1x1+ai,2x2+...ai,nxn+Ri=bi

 

.......................................

 

am,1x1+am,2x2+...am,nxn+xn+m=bm

В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a0,n=-a0,n. Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" или "=" - коэффициенты запишутся без изменений. К каждому условияю-неравенству, при переходе к каноническому виду добавляем дополнительную переменную, xn+m , к каждому i-му условию-равенству добавляем искусственную переменную Ri.

Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче x1 x2 ... xn-1 xn b

F -a0,1 -a0,2 ... -a0,n-1 -a0,n -b0

xn+1 a1,1 a1,2 ... a1,n-1 a1,n b1

xn+2 a2,1 a2,2 ... a2,n-1 a2,n b2

Ri ai,1 ai,2 ... ai,n-1 ai,n bi

... ... ... ... ... ... ...

xn+m am,1 am,2 ... am,n-1 am,n bm

M -∑ai,1 -∑ai,2 ... -∑ai,n-1 -∑ai,n -∑bi

Шаг 1. Проверка на допустимость.

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент ak,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно правилам.

Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.

Шаг 2. Проверка на оптимальность.

На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строках M и F(не беря в расчет элемент b0 - текущее значение целевой функции и элемент -∑bi) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.

Положительность строки M

Если в строке M есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки M максимальный по модулю (исключая -∑bi)

l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

bk/ak,l =min {bi/ai,l } при ai,l>0, bi>0

k - cтрока, для которой это отношение минимально - ведущая. Элемент ak,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (xk) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (xl) включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке M остались отрицательные элементы переходим к шагу 2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

Если в строке M и в столбце свободных членов все элементы положительные, то переходим к шагу 2.2.

Положительность строки F

Проверяем на положительность элементы строки F. Если имеются отрицательные элементы ( не считая b0), выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю.

-a0,l=min{-a0,i }

l - столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

bk/ak,l =min {bi/ai,l } при ai,l>0, bi>0

k - cтрока, для которой это отношение минимально - ведущая. Элемент ak,l - ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (xk) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (xl) включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2.2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Правила преобразований симплексной таблицы

При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения:

Вместо базисной переменной xk записываем xl; вместо небазисной переменной xl записываем xk.

ведущий элемент заменяется на обратную величину ak,l'= 1/ak,l

все элементы ведущего столбца (кроме ak,l) умножаются на -1/ak,l

все элементы ведущей строки (кроме ak,l) умножаются на 1/ak,l

оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле ai,j'= ai,j- ai,l×ak,j/ ak,l