Свойства операций над множествами. 1."A, AÈA=A. AÇA=A (идемпотентность)

1."A, AÈA=A. AÇA=A (идемпотентность).

2.Пересечение и объединение множеств коммутативно (перестановочно):

"A ,B AÈB = BÈA; "A ,B AÈB = BÈA.

Доказательство.

Эти свойства вытекают из определения. Действительно, пусть xÎAÇB, тогда xÎA и xÎB, следовательно, xÎBÇA. Отсюда (AÇB)Í(BÇA). Аналогично доказывается обратное утверждение (BÇA)Í(AÇB). Отсюда AÇB = BÇA.

Пусть xÎAÈB, тогда либо xÎA, либо xÎB, но тогда xÎBÈA и (AÈB) Í (BÈA). Аналогично (BÈA) Í (AÈB). Следовательно, AÈB = BÈA.

3.Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств A, B и C имеем (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC); (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC).

Доказательство.

Пусть xÎ(AÇB)ÇC, отсюда xÎ(AÇB) и xÎC, или xÎA, xÎB, xÎC. Отсюда xÎ(BÇC) и xÎA, следовательно, xÎAÇ(BÇC) и верно (AÇB)ÇCÍAÇ(BÇC). Наоборот, если xÎAÇ(BÇC), следует, что xÎA, xÎC, xÎB, откуда xÎ(AÇB)ÇC и верно AÇ(BÇC)Í(AÇB)ÇC. Отсюда AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC. Аналогично доказывается равенство множеств AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC.

4. Для любых множеств A, B справедливо: если AÌB, то AÇB = A; AÈB = B.

Доказательство.

Пусть xÎAÇB, то есть xÎA и xÎB, отсюда xÎA. Пусть теперь xÎA. Из условия AÌB следует, что xÎB, отсюда xÎAÇB. Следовательно, AÇB = A.

Пусть xÎA ÈB, тогда xÎA или xÎB. Но AÌB, и, следовательно, xÎB, AÈBÌB. Если xÎB, то по определению xÎAÈB и верно включение BÌAÈB. Отсюда AÈB = B.

5. Для любых множеств A, B и C справедливы равенства (свойство дистрибутивности):

a) AÇ(BÈC) = (AÇB) È (AÇC);

б) AÈ(BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC).

Доказательство.

а) Пусть xÎAÇ(BÈC). Тогда xÎA и xÎ(BÈC) → xÎA, xÎB или xÎC → xÎAÇB или xÎAÇC → xÎ (AÇB)È(AÇC) → AÇ(BÈC) Ì (AÇB)È(AÇC). Пусть xÎ (AÇB)È(AÇC). Тогда xÎ(AÇB) или xÎ(AÇС)→(xÎA, xÎB) или (xÎA, xÎC) → xÎA и xÎB или xÎC→xÎAÇ(BÈC) и отсюда (AÇB)È(AÇC)Ì AÇ(BÈC). Окончательно имеем AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC).

б) Пусть xÎAÈ (BÇC). Тогда xÎA или xÎ (BÇC) → xÎA или (xÎB и xÎC) → (xÎA или xÎB) и (xÎA или xÎC) → xÎ (AÈB) Ç (AÈC) → AÈ (BÇC) Ì (AÈB) Ç (AÈC). Обратно, пусть xÎ (AÈB) Ç (AÈC). Тогда xÎ (AÈB) и xÎ (AÈC) → (xÎA или xÎB) и (xÎA или xÎC) → или xÎA или (xÎB и xÎC) → xÎAÈ (BÇC), то есть (AÈB) Ç (AÈC) ÌAÈ (BÇC). Следовательно, AÈ (BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC).

6. ; (законы де Моргана).

7.Свойствауниверсального и пустого множества: "A справедливо

· AÈU=U;

· AÈÆ=A;

· AÇU=A;

· AÇÆ=Æ;

· ;

· ;

· A\Æ=A;

8.Свойстваабсолютногодополнения: "A справедливо

· ÈA=U;

· ;

· ÇA=Æ.

9.Частные свойства разности множеств:

· Если AÇB=Æ, то А\В=А;

· Если AÍB, то А\В=Æ;

· А\В = А\(АÇВ);

· A\A =Æ;

· A\Æ =A.

 

2.3. Диаграммы Эйлера-Венна

 

Операции множеств и связанные с ними соотношения представляются наглядно с помощью диаграмм Эйлера-Венна (названных по имени русского математика Леонарда Эйлера (1707-1783гг.) и английского логика Джона Венна (1834-1923гг.). На этих диаграммах любые множества изображаются кругами, пересекающими друг друга, исходя из того, что внутренними точками круга изображаются элементы множества. Общей частью двух кругов, пересекающих друг друга, представляются возможные общие элементы двух множеств. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Единичный элемент множества – точкой в круге.

Объединение множеств C=АÈВ (зеленое выделение):

Рис. 1

Пересечение множеств C=АÇВ (черное выделение):

Рис. 2

Множество В является подмножеством множества А:

Рис. 3

 

Разность A\B (зеленое выделение):

Рис. 4

 

Дополнение ко множеству А (синее выделение):

Рис. 5

 

Симметрическая разность множеств А∆B (зеленое выделение):

Рис. 6

 

2.4. Прямое произведение множеств

 

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово (прямое) произведение множеств.

Пусть A и B - множества. Выражение вида (a, b) , где aÎA и bÎB, называется упорядоченной парой. Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, элемент b - второй координатой (компонентой) пары.

Равенство вида (a, b)=(c, d) означает, что a=c и b=d. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку (a₁, a₂, a₃, … ,a_n) из элементов a₁ÎA₁, a₂ÎA₂ … a_nÎA_n. Упорядоченные n-ки иначе называют наборами или кортежами.

Определение прямого произведения множеств. Декартовым (прямым) произведением множествA₁, A₂,… A_n называется множество упорядоченных наборов (кортежей) вида A₁´A₂´…´A_n={( a₁, a₂,… a_n | a_iÎA_i}.

Из вышеприведенного определения следует, что для любых a₁ ¹a₂ справедливо (a₁,a₂) ¹ (a₁,a₂).

Операция нахождения декартова произведения множеств называется декартовым умножением множеств.

Определение степени прямого произведения.Степенью декартового произведения A₁´A₂´…´A_n называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества A_i одинаковы, то используют обозначение

Aⁿ=A´A´…´A.

Выясним, какими свойствами обладает операция нахождения декартова произведения множеств. Так как декартовы произведения (a₁, a₂) ¹ (a₂, a₁), a₁ ¹a₂ состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств свойством коммутативности не обладает.

Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и ассоциативность. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств: для любых множеств А, В и С справедливо:

· (A U B) ´C = ( A ´ C ) U ( B ´ C );

· (A \ B)´C = ( A ´C ) \ ( B ´ C ).

2.5. Отношения на множестве

 

Определениеотношения степени n. Подмножество R декартового произведения множеств A₁´ A₂´…´ A_n называется отношением степени n (n-арным отношением).

Определение мощности отношения. Мощность множества кортежей, входящих в отношение R, называют мощностью отношения R.

Замечание. Понятие отношения является очень важным не только с математической точки зрения. Как будет показано ниже, отношения являются математическим аналогом таблиц.

Т.к. любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1. Это не очень интересный пример, свидетельствующий лишь о том, что термины “отношение степени 1” и “подмножество” являются синонимами. Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1. Ключевыми здесь являются два момента:

Во-первых, все элементы отношения есть однотипные кортежи. Если же множество состоит из разнотипных числовых кортежей, то это множество не является отношением ни в R¹, ни в R², ни в Rⁿ.

Во-вторых. За исключением крайнего случая, когда отношение есть само декартово произведение A₁´A₂´…´A_n, отношение включает в себя не все возможные кортежи из декартового произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие - нет. Этот критерий, по существу, определяет для нас смысл (семантику) отношения.

Действительно, каждому отношению можно поставить в соответствие некоторое логическое выражение P(x₁ ,x₂, … , x_n), зависящее от n параметров и определяющее, будет ли кортеж (a₁, a₂, … ,a_n) принадлежать отношению R. Это логическое выражение называют предикатом отношения R. Более точно, кортеж (a₁, a₂, … ,a_n) принадлежит отношению R тогда и только тогда, когда предикат этого отношения P(a₁, a₂, … ,a_n) принимает значение “истина”. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между n-арными отношениями и n-местными предикатами.

Примеры отношений.