Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Умножение. При перемножении чисел z1 и z2, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются: z = z1z2 = r1r2×( cos( j1 + j2 ) + isin( j1 + j2 )). (Формула справедлива для любого конечного числа сомножителей.) z1…zn = r1…rn ( cos(j1 +…+jn) + isin(j1 +…+jn )). Если z1 = z2 =…= zn = z = r(cosj + isinj), то последняя принимает вид zn = rn×(cosnj + isin nj ) и называется формулой Муавра. Она показывает, что для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Примеры. 1) Выполнить умножение: 2) Вычислить: . 2. Деление. Если z1 = r1×( cosj1 + isinj1) и z2 = r2×( cosj2 + isinj2 ), то
, т.е. модуль частного двух комплексных чисел z1 и z2 равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов. Пример. z1 = z2 = . Найти частное. . Формула Муавра ( ) находит много применений. Так, например, если n = 3, то, возведя левую часть по формуле сокращенного умножения в куб, получим равенство . Из равенства комплексных чисел и основного тригонометрического тождества получаем С помощью формулы Муавра можно находить суммы тригонометрических функций. Например, найдем сумму k Î Z. Рассмотрим сумму . Из формулы Муавра имеем: . Таким образом, сумма S(x) примет вид: . Эта сумма есть геометрическая прогрессия из n слагаемых с первым членом и знаменателем прогрессии . По формуле для суммы n членов геометрической прогрессии, имеем
. . . В исходном выражении для S(x) было: , . Сравнивая мнимые и действительные части, получаем следующие формулы: Извлечение корня из комплексного числа Корнем n-ой степени, n Î N, n ³ 2, из числа z называется любое комплексное число u, для которого n-ая степень равна z: . В поле комплексных чисел справедлива следующая теорема. Для любого z ≠ 0 извлечение корня n-ой степени, n ³ 2, из числа z всегда возможно и имеет ровно n различных значений. Пусть z = r(cosj + isinj). Искомый корень n-ой степени обозначим u = r(cosq + isinq). По определению корня имеем un = z. Откуда следует, что rn (cosnq + isinnq) = r(cosj + isinj). Из равенства комплексных чисел получаем: Так как . Таким образом, модуль комплексного числа u определяется как арифметический корень из действительного положительного числа r, а аргумент находят по формуле Общая формула Муавра , Пример. Вычислить u = . Представим число z = в тригонометрической форме: , Поэтому согласно общей формуле Муавра , где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Таким образом, значения корней: , , Геометрически корни можно интерпретировать как числа, изображающие в комплексной плоскости вершины правильного n угольника (в рассмотренном примере – шестиугольника ), вписанного в окружность радиусом (в рассмотренном примере – радиусом ), с центром в начале координат. Примеры. Найти: 1) , 2) , 3) .
Решение. 1) , u0 = cos0 + isin0 = 1, , , .
2) , k = 0, 1, 2.
3) , k = 0, 1, 2.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2393)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |