Примеры задач, сводимых к матричным играм

Налицо антагонистический конфликт, в котором у игрока Адве стратегии - А и А ,а у игрока В три — В (засушливое лето), В (нормальное лето) и В (дождливое лето).

В качестве выигрыша игрока Авозьмем прибыль от реализации и будем считать, что расчеты прибыли сельскохозяйственного предприятия (в млн. руб.) в зависимости от состояний погоды сведены в следующую матрицу . Нетрудно заметить, что седловой точки у этой матрицы нет. Поэтому оптимальная стратегия игрока А будет смешанной. Применяя графический метод, получаем Р= , .

Замечание. Здесь мыстолкнулись со сравнительно редкой ситуацией, когда оптимальная смешанная стратегия одного из игроков допускает так называемую«физическую» реализацию. Полученное решение сельскохозяйственное предприятие может использовать так:
на всех площадей выращивать культуру А ,
на всех площадей выращивать культуру А и получать прибыль в размере, не меньшем млн. руб.

Пример 11. «Переговоры о заключении контракта между профсоюзом и администрацией». Рассмотрим фирму, администрация которой ведет переговоры с профсоюзом рабочих и служащих о заключении контракта.
Предположим, что платежная матрица, отражающая интересы договаривающихся сторон, имеет следующий вид

75 105 65 45
70 60 55 40
80 90 35 50
95 100 50 55

Выплаты указаны в центах в час и представляют собой среднюю зарплату служащего фирмы вместе со всеми добавками. Тем самым, заданная матрица описывает прибыль профсоюза (игрок А) и затраты администрации фирмы (игрок В).

Ясно, что профсоюз стремится максимизировать доходы рабочих и служащих, в то время как администрации хотелось бы минимизировать собственные потери.

Нетрудно заметить, что седловой точки у платежной матрицы нет. Кроме того, для дальнейшего анализа существенными являются лишь стратегии А и А игрока А и стратегии В и В игрока В (в этом легко убедиться, воспользовавшись правилом доминирования стратегий). В результате соответствующего усечения получим матрицу .
Элементы матрицы , связаны с элементами предыдущей матрицы соотношениями
65=5•4+45, 45=5•0+45,
50=5•1+45, 55=5•2+45.
Воспользовавшись графическим методом, в итоге получим
Р = , Q = , v = 53. Тем самым, профсоюзу следует выбирать стратегию А в 20% случаев и стратегию А в 80%. Что касается администрации, то ей следует выбирать стратегию В с вероятностью 0,4 и стратегию В с вероятностью 0,6. При этом ожидаемая цена игры равна 53.

Замечание. Следует отметить, что если процесс переговоров будет повторяться мною раз, то среднее должно сходиться к ожидаемому значению 53. Если же переговоры пройдут лишь единожды, то реальный результат получится при выборе каждым игроком некоторой своей чистой стратегии. Поэтому один из игроков, профсоюз или администрация, будет неудовлетворен.

Пример 12. «Локальный конфликт». Рассмотрим войну между двумя небольшими государствами А и В, которая ведется в течение 30 дней.

Для бомбардировки небольшого моста — важного военного объекта страны В - страна А использует оба имеющихся у нее самолета. Разрушенный мост восстанавливается в течение суток, а каждый самолет совершает один полет в день по одному из двух воздушных маршрутов, соединяющих эти страны. У страны В есть два зенитных орудия, при помощи которых можно сбивать самолеты страны А. Если самолет собьют, то некая третья страна в течение суток поставит стране А новый самолет.
Страна А может послать самолеты либо по одному маршрут, либо по разным. Страна Вможет поместить либо обе зенитки на одном маршруте, либо по одной зенитке на каждый маршрут.

Если один самолет летит по маршруту, на котором расположена одна зенитка, то этот самолет будет сбит. Если два самолета летят по маршруту, на котором расположены две зенитки, то оба самолета будут сбиты. Если два самолета летят по маршруту, на котором расположена одна зенитка, то сбит будет только один самолет. Если самолет доберется до цели, то мост будет уничтожен.

У страны А есть две стратегии:
«послать самолеты по разным маршрутам» - А ,
«послать самолеты по одному маршруту» - А .
У страны В - также две стратегии:
«поместить зенитки на разных маршрутах» - В ,
«поместить зенитки на одном маршруте» - В .

Если страна А выберет стратегию А , а страна В — стратегию В , то страна А получит нулевой выигрыш, так как ни один из самолетов не достигнет цели.

Если страна А выберет стратегию А , а страна В — стратегию В , то хотя бы один самолет достигнет цели и вероятность разрушения моста будет равна 1.

Если страна А выберет стратегию А , а страна В стратегию В , то вновь хотя бы один самолет достигнет цели и вероятность разрушения моста будет равна 1.

Если страна А выберет стратегию А , а страна В стратегию В , то страна А с вероятностью выберет маршрут, на котором установлены зенитки, и, следовательно, цель будет уничтожена с вероятностью .

Оформим результаты проведенного анализа в стандартной игровой форме: . При помощи графического метода получаем оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры Р = , , .

Это означает, что если страна А будет посылать самолеты по разным маршрутам в течение десяти дней из тридцати, отпущенных на войну (и, значит, по одному маршруту в течение двадцати дней), то в среднем страна А будет иметь 66,7% удачных случаев (мост будем находиться в нерабочем состоянии). Воспользовавшись для своих зениток предложенным выбором, страна В не позволит бомбить мост чаще, чем в 66,7% случаев.